problemas de optimización

Aplicaciones de la derivada
060

Queremos añadir a una casa una nueva habitación rectangular de 12 m2
de superficie. ¿Qué longitud debemos dar a sus paredes para que el perímetro sea
el menor posible y minimizar la cantidad de ladrillos utilizados en esa ampliación?

0

12
x
Como la nueva habitación va a ser un añadido de la casa, una de sus paredes debe
coincidir, de esa forma nonecesitamos ningún ladrillo, puesto que ya está construida.
Si x e y son las dimensiones tenemos que: xy

Así, debemos minimizar: P ( x , y )

2x

y

12

y

P( x )

2x

12
2 x 2 12
0
x
6,x
6
x2
x2
Como una longitud no puede ser negativa, tenemos que: x

P'( x )

12
x

2

6 →y

2 6

Comprobamos que en este punto se alcanza un mínimo:
24
P" ( x )
P" 6
0 → Setrata de un mínimo.
x3
6 m e y 2 6 m.
Las dimensiones de la habitación son x
061

Se desea delimitar una parcela rectangular, pegada a la pared de una nave.
Si se dispone de 200 m de tela metálica para cercarla, ¿cuáles son las dimensiones
de la parcela que tiene la mayor superficie?
Llamamos x e y a las dimensiones de la parcela. Como va a estar pegada a la pared
de la nave, se va averificar que: 2 x y 200
y 200 2 x
Se trata maximizar la función superficie dada por:
S( x ) xy
S( x ) x ( 200 2 x ) 200 x 2 x 2
S'( x ) 200 4 x 0
x 50
S"( x )
4 0 en R → En x 50 alcanza un máximo.
Las dimensiones de la parcela son x 50 m e y 100 m.

062

¿Qué dimensiones debe tener un paragüero con forma de prisma cuadrado de 20 dm3
de volumen, para que en su fabricación se gaste lamenor cantidad posible de material?
Llamamos x a la arista de la base e y a la altura del prisma cuadrangular.
20
Entonces, se debe cumplir que: x 2 y 20
y
x2
Como un paragüero no tiene base superior, tenemos que minimizar la función
superficie que viene dada por:
20
80
S( x , y ) x 2 4 xy
S( x ) x 2 4 x 2
x2
x
x
80
2 x 3 80
3
S'( x ) 2 x
0
x
40
x2
x2
160
S" 3 40
0 → Sealcanza un mínimo.
x3
Las dimensiones del paragüero son:
20
Arista de la base x 3 40 dm
Altura y
2
3
40
S" ( x )

2

20
3

1.600

dm

532
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0

SOLUCIONARIO

063

9

¿Todos los cilindros con igual volumen tienen la misma superficie total?
¿Cuál tiene la menor superficie?
Sean r y h las dimensiones del radio de la base y dela altura del cilindro.
Si V ( r, h ) es el volumen:
r 2h

V ( r , h)

be
da.

V ( r , h)
r2

h

La superficie del cilindro que debemos minimizar viene dada por:
2 r2

S( r , h )

2 rh

2 r2

V ( r , h)
r2

2 r

2V ( r , h)
r

2 r2

Como el volumen siempre es el mismo, derivamos respecto de r:
S'( r , h)

4 r

S" ( r , h)

4

4 r3

2V ( r , h)
r2
4V (r , h)
r3

2V ( r , h)
r

S"

3

0

2

V ( r , h)
2

r

V ( r , h)
2

3

0→ Se alcanza un mínimo.

Así, no todos los cilindros con el mismo volumen tienen la misma superficie total
y el de menor superficie tiene estas dimensiones:
r

d
064

3

V ( r , h)
2

h

3

4V ( r , h)

De todos los cilindros que pueden inscribirse en una esfera de 9 cm de radio,halla la altura y el radio del que tiene mayor volumen.
Llamamos x al radio de la base del cilindro
e y a la mitad de su altura, así, R 9.
Se verifica que:

3

m
al?

x2

y2

R2 → x2

y2

81 → y

812

x2

2

V( x, y)
V( x, y)
V'( x )
En 0 ,
En

x h donde h
2

2 x y

V(x)

2 ( 324 x 3

2y.

6x5 )

2 81x 4

54 → V'( x )
54 ,

` → V'( x )

Portanto, en x

x

2 x

2

81

( 324 x 3

x6

y

R

La función que debemos maximizar es:

81x 4

x

2

6x5 )
x6

2

81x
0

4

x

x

6

0, x

54

0 → V( x ) creciente
0 → V( x ) decreciente

54 alcanza un máximo.

Así, la altura y el radio del cilindro de mayor volumen que puede inscribirse
en una esfera de radio 9 cm es:
Radio: 54 cm
Altura: 2 81 54...