Problemas ecuaciones diferenciales ordinarias

Recordar:

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen una función desconocida (incógnita, variable dependiente) y una o más de sus derivadas. Dependiendo de cómo sea el tipo de función (una o dos variables), las ecuaciones diferenciales se clasifican en ordinarias y parciales.

Se llama ecuación diferencial ordinaria si la función incógnita, es una función de una únicavariable y las derivadas son ordinarias.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican a su vez de acuerdo al orden y el grado. El orden lo establece la derivada más alta en la ecuación. El grado lo determina la potencia mas alta a la que está elevada la derivada de mayor orden (supuesta ordenada en forma polinómica en cuanto a derivadas).

Se llama ecuación diferencial ordinaria si la funciónincógnita, es una función de una única variable y las derivadas son ordinarias.

Por ejemplo:
La ecuación diferencial ordinaria [pic] donde y = f(x)
La ecuación diferencial ordinaria [pic]

Soluciones de las ecuaciones diferenciales:
Resolver una ecuación diferencial significa, hallar la función que satisfacen dicha ecuación. Se dice que f es solución de una ecuación diferencialsi al sustituirla en la ecuación, ésta se reduce a una identidad.

Soluciones generales y particulares:

El conjunto de todas las soluciones de una ecuación diferencial se llama solución general. La solución general de una ecuación diferencial de orden n, es una solución que contiene n constantes de integración arbitrarias.

Una solución particular es una solución que se obtiene a partir dela solución general dando valores específicos a las constantes arbitrarias. Una condición de la forma y = y0 cuando x = x0 se llama condición de frontera. El caso especial y = y0 cuando x = 0 se llama condición inicial. Una solución (general o particular) se puede escribir implícita o explícitamente. La solución general representa gráficamente una familia de curvas solución, una por cadasolución particular.

Ecuaciones diferenciales de primer orden:

Las ecuaciones diferenciales también se clasifican de acuerdo al método de resolución. En general una ecuación diferencial de primer orden y primer grado tiene la forma dy/dx= F(x,y) o bien M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0. Si F(x,y) es función de dos variables, entonces puede ser clasificada como, separable, homogénea, exacta, lineal enuna variable.

Ecuaciones diferenciales de variables separables:
Si la ecuación diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 puede escribirse en la forma M(x)dx + N(y)dy = 0 donde la función M es sólo función de x y N es sólo función de y, se dice que es separable (o de variables separables). Para resolver dicha ecuación escribimos M(x)dx = - N(y)dy e integramos en ambos lados de la ecuación.Entonces si H es antiderivada de M y G lo es de N, la solución está dada por H(x) + C1 = G(y) + C2 . Como C1 - C2 es una constante arbitraria, podemos sustituir por C y así obtenemos la solución H(x) = G(y) + C.

Ecuaciones diferenciales homogéneas:
Si en la ecuación diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, las funciones M(x,y) y N(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado, o bien, si escritaen la forma dy/dx = F(x,y), la función F(x,y) es una función homogénea de grado uno, entonces se dice que la ecuación diferencial es homogénea.

Definición de función homogénea:

La función f(x,y) es homogénea de grado n si f(tx,ty) = tn f(x,y) , donde n es un número real.

Solución a las ecuaciones diferenciales homogéneas:

Una ecuación diferencial homogénea se puede transformar en unaecuación diferencial separable, mediante la sustitución:

[pic] o bien, [pic]

Ecuaciones diferenciales de orden superior:
Este tipo de ecuaciones diferenciales tiene la forma [pic]
En donde "X" es una función de "x" únicamente, o una constante para integrar
[pic]
El proceso anterior se repite (n-1) veces, de esta manera se obtendrá la solución general, que contendrá...