Problemas Fundamentales

 Escuela de Bachilleres Salvador Allende - Matemáticas IV
Unidad 2 – Los problemas fundamentales de la geometría analítica
En esta unidad se realizará un estudio preliminar de dos problemas fundamentales de la geometría analítica:

2.1 Primer problema fundamental. Gráfica de una ecuación
Partimos de una ecuación matemática

Existe en su haber una infinidad de pares de puntos X, Y quesatisfacen la ecuación anterior.
Por lo tanto, si existe un conjunto de pares de puntos que satisfacen la ecuación se le conoce como gráfica de la ecuación o lugar geométrico.
También se dice, que cualquier punto cuyas coordenadas satisfacen a la ecuación entonces pertenece a la gráfica de la ecuación.
Lo importante es que si las coordenadas de un punto satisfacen una ecuación, ese punto pertenecea la gráfica de esa ecuación y, recíprocamente, si un punto está sobre la gráfica de la ecuación, sus coordenadas satisfacen a la ecuación.
En álgebra, el trazado de una ecuación se realiza a través de una tabulación. El procedimiento consiste en trazar un cierto número de puntos y dibujar una línea continua.
Ejemplo: Considere la ecuación:




X
Y
0
0
1
8
2
6
3
0
4
-4
5
0
618
-1
-24



Existen en su haber, ecuaciones que no podrán ser graficadas por ciertas condiciones como la siguiente:

No hay valores que satisfagan la ecuación (No existen números reales).
O gráficas que solamente tienen un punto que satisface la ecuación:

Para evitar algún tipo de error en cuando a la tabulación y gráfica de la ecuación, se propone realizar un estudio previo de laecuación al cual llamaremos discusión de la ecuación.

Intercepciones con los ejes
El primer punto que estudiaremos en relación a la discusión de una ecuación es el de las intercepciones de la curva con los ejes coordenados.
Llamaremos intercepción de una curva con el eje X a la abscisa del punto de intersección de la curva con el eje. Análogamente, la intersección con el eje Y es la ordenada delpunto de intersección de la curva con dicho eje.
Ejemplo:
Consideramos la siguiente ecuación

Calculamos las intersecciones de x, consideramos y = 0.



Por lo tanto, las intersecciones de la ecuación con el eje x son 0, 3 y 5.
De igual manera, para las intersecciones de y, consideramos x = 0.


Por lo tanto, la intersección de la ecuación con el eje y es 0.

Simetría
El segundopunto que consideramos, en relación con la discusión de una ecuación, es la simetría de la curva que representa, con respecto a los ejes coordenados y con respecto al origen.
Definiciones
1. Se dice que dos puntos son simétricos (A, B) con respecto a una recta (l) (también llamada eje de simetría) si la recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.






2. Se diceque dos puntos son simétricos con respecto a un punto O (centro de simetría, si O es el punto medio del segmento que los une.






Ahora vamos a extender las definiciones anteriores para incluir la simetría de una curva plana.

3. Se dice que una curva es simétrica con respecto a un eje de simetría cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente también de la curva, talque estos dos puntos son simétricos con respecto al eje.

4. Se dice que una curva es simétrica con respecto a un centro de simetría O cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva, tal que estos dos puntos son simétricos con respecto a O.















a) Simetría con respecto al eje X
Sea P(x,y) un punto cualquiera de la figura anterior.Si esta curva es simétrica con respecto al eje X se deduce que existe otro punto P’(a,b) sobre la curva, tal que el segmento PP’ queda bisecado perpendicularmente por el eje X.
Sea M de coordenadas (x,0) y es el punto medio de PP’ tenemos que:



Ecuaciones de punto medio

Sustituyendo los valores



Despejando el valor de a y b
Por lo tanto, las coordenadas de
P’ son (x,-y)...