Problemas matemáticos con solución

SIGMA
34

EL RINCÓN OLÍMPICO
Pedro Alegría (*)
Vamos a ofrecer en este número las soluciones de los problemas publicados en el número 33
de la revista (correspondiente a noviembre de 2008) los cuales fueron propuestos en el concurso "Problemas con premio" de la séptima edición de la "Zientzia astea" celebrado entre los
días 12 y 16 de noviembre de 2008 en Bilbao.
Como es habitual, acontinuación proponemos una nueva lista de problemas de dificultad
variable. Te animamos a que trates de resolverlos y nos envíes las soluciones. En próximas
ediciones publicaremos las que nos hayan parecido más ilustrativas e ingeniosas.

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS ANTERIORES
Más fáciles
25. Tenemos dos toneles iguales, el primero lleno de alcohol y el segundo lleno de
agua. Se pasa unacucharita de alcohol del primer tonel al segundo y se mezcla
bien, y después se pasa una cucharita de líquido de la mezcla del segundo tonel
al primero. ¿Hay ahora más agua en el tonel de alcohol que alcohol en el tonel de
agua o al revés?
Para llegar a la respuesta, realizaremos el proceso indicado llamando x a la capacidad de la
cucharita, A a la cantidad inicial de alcohol en el primer tonel y Ba la cantidad inicial de agua
en el segundo tonel.
Después del primer trasvase, tendremos en el primer tonel una cantidad de alcohol igual a
"A – x" y en el segundo tonel una cantidad de alcohol igual a "x" y una cantidad de agua igual
a "B".
En el segundo trasvase, pasaremos una cantidad de alcohol igual a "y" y una cantidad de agua
igual a "z", donde "x = y + z". De este modo, en el primertonel la cantidad de alcohol es igual
a "A – x + y" y la cantidad de agua es igual a "z", mientras que en el segundo tonel la cantidad
de alcohol es igual a "x – y" y la cantidad de agua es igual a "B – z".
Basta recordar que "x = y + z" para deducir que queda la misma cantidad de agua en el tonel
de alcohol que alcohol en el tonel de agua.
26. En cierto poblado africano viven 800 mujeres.El tres por ciento de ellas llevan un
pendiente. Del otro 97 por ciento restante, la mitad llevan dos pendientes y la otra
mitad no lleva ninguno. ¿Cuántos pendientes llevan en total todas las mujeres?

(*) Dpto. Matemáticas, Universidad del País Vasco.

Septiembre 2009 • 2009ko Iraila

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Pedro Alegría

Independientemente de los porcentajes establecidos, si agrupamos a las mujeresdel segundo grupo
en parejas, una con dos pendientes y una sin pendientes, cada dos mujeres llevan dos pendientes,
lo que en total indica que habrá tantos pendientes como mujeres. Como las del primer grupo también cumplen esa propiedad, deducimos fácilmente que el total de pendientes será 800.
27. El año 1971 una persona afirmó:
– Yo tenía n años en el año n2.
¿Cuál fue el año de nacimiento dedicha persona?
Buscamos en primer lugar el número cuyo cuadrado sea más próximo a 1971, pero menor que
1971. Resulta que 442 = 1936.
Esto indica que n = 44, de modo que el año de nacimiento será 1936 – 44 = 1892.
28. Con dos relojes de arena, uno de siete minutos y otro de 11 minutos de duración,
¿cuál es la forma más rápida de calcular los 15 minutos necesarios para cocer un
huevo?
Seponen en marcha los dos relojes simultáneamente en el momento en que empieza a cocer el
huevo. Después de siete minutos, se gira el reloj que dura los siete minutos (de modo que el otro
reloj todavía necesita otros cuatro minutos para terminar). Cuando haya terminado el reloj de once
minutos, que es el momento en que faltan tres minutos para que acabe el reloj de siete minutos,
se gira nuevamenteel reloj de siete minutos (porque tiene acumulados cuatro minutos). Cuando
acaba este reloj han pasado exactamente 15 minutos, los necesarios para terminar la cocción.

Intermedios
29. Tres personas, Blanco, Rubio y Castaño, se conocen en un reunión. La dama
comenta:
– Es curioso que nuestros apellidos sean Blanco, Rubio y Castaño y que nos
hayamos reunido tres personas con ese color de...