Problemas resueltos cinemática de una partícula

SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS SOBRE CINEMATICA DE UNA PARTICULA

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PROBLEMAS SOBRE CINEMATICA DE UNA PARTICULA
Y
ℑ

1-1.- El perno B del cigüeñal AB de radio r = 0.1 m se está moviendo en la ranura del brazo OC en la figura. Si en el instante dado: = 0.24 m, φ = 30°, ω = 4 rad/seg y α = - 2 rad/seg2. Usando coordenadascartesianas, calcular la velocidad y aceleración del perno B.

X
ℑ φ

P1-1 Solución 1).- Por intersección de trayectorias (ver figura P1-1a):

X 2 +Y 2 = r2
P1-1a

(1) (2)

Y = b + mX = 0.24 − cot θ X

2).- Derivando dos veces, con respecto al tiempo (1) y (2):

XX + YY = 0
Y = csc 2 θ θ X − cot θ X X 2 + XX + Y 2 + YY 2 = 0 Y = − 2 csc 2 θ cot θθ 2 X − csc 2 θθX − csc 2 θ θ X −csc 2 θ θX + cot θX

(3) (4) (5)

(

)

(6)

3).- Para el caso específico de X = 0.1 sen30° = 0.05 m, Y = -0.1cos30° = -0.0866 m y θ = 8.702°.(4) en (3):

XX + Y csc 2 θθX − cot θX = 0

(

)

→

X ( X − Y cot θ ) = −Y csc 2 θθX

Autor: Ing. VICTOR MANUEL MENACHO LOPEZ

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X =−
En (4):

Y csc 2 θ θ X 0.0866 * 43.683 * 4 * 0.05 = = 1.229 m/seg ( X − cot θ Y ) 0.05 + 6.534 * 0.0866

Y = 43.687 * 4 * 0.05 − 6.534 *1.229 = 0.707 m/seg

∴ VB = 1.229 i + 0.707 j (m/seg)
(6) en (5):

→

V B = 1.42 m/seg

X ( X − Y cot θ ) = Y csc 2 θ 2 cot θθ 2 X − θ X − 2θ X − X 2 − Y 2
X = − 0.0866 * 43.687 (2 * 6.534 * 16 * 0.05 + 2 * 0.05− 2 * 4 * 1.229 ) − 2.016 0.05 + 0.0866 * 6.534

(

)

∴ X = −7.71 m/seg2
En (6):

Y = −43.687 ( 2*6.534*16*0.05 + 2*0.05 − 2* 4*1.229 ) + 6.534*7.71 Y = 18.82 m/seg2 ∴ aB = − ( 7.71 i − 18.82 j ) m/seg2 → aB = 20.34 m/seg2
1-2.- El perno P en un mecanismo será empujado hacia la derecha con una velocidad constante V = 2 m/seg. Usando coordenadas cartesianas, calcule la velocidad angulary la aceleración angular del brazo OA para θ = 30°, si = 0.7 m. Solución 1).- Cálculo del movimiento de P tomando como punto de referencia a O y aprovechando que es constante:
X ℑ

P Y

ℑ

P1-2

Autor: Ing. VICTOR MANUEL MENACHO LOPEZ

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Si:

tgθ =X

→

X tgθ =

(1)

Derivando dos veces (1), respecto al tiempo:

X tgθ + X sec 2 θθ = 0

→

θ=

− X senθ cos θ X

(2)

X tgθ + X sec 2 θ θ + X sec 2 θ θ + X * 2 sec 2 θ tgθ θ 2 + X sec 2 θ θ = 0

θ=

− 2 X sec 2 θθ + 2 X sec 2 θ tgθθ 2 X sec 2 θ

(

)

(3)

2) Para el caso específico de θ = 30°, X

= V = 2 m/seg y X = 0 :

tg 30° =
En (2):

0.7 X

→X = 1.21 m

∴ θ =−
En (3):

2 sen30° cos 30° = −0.72 rad/seg 1.21

θ =−
∴

(− 2 * 2 sec
θ = 1.78

2

30° * 0.72 + 2 *1.21sec 2 30°tg 30° * 0.72 2 1.21 * sec 2 30°

)

rad/seg2

1-3.- El movimiento tridimensional de una partícula está definida por el vector posición

r = R sen pt i + Ct j + R cos pt k . La curva descrita en el espacio por la partícula es una hélice. Determineel radio de curvatura de dicha hélice.
Solución Si:

(

)

( )

(

)

1

ρC

=

r xr r
3

Autor: Ing. VICTOR MANUEL MENACHO LOPEZ

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_________ r = Rp cos pt i + C j − Rpsenpt k

r = R 2 p 2 cos 2 pt + sen 2 pt + C 2 r = − Rp 2 senpt i − Rp 2 cospt k
i r xr = Rp cos pt − Rp senpt
2 2

[

(

)

]

1

2

= R2 p2 + C 2

(

)

1

2

j C 0

k − R psenpt − Rp cos pt
2 2 3 2 2

r x r = −CRp cos pt i + R p sen pt + R p cos pt j + CRp senptk

(

2

3

)

2

1

ρC
1

=

r xr r
3

 C 2 R 2 p 4 cos 2 pt R4 p6 = + 3 R2 p2 + C 2  R2 p2 + C 2 

(

)

(

)

3

C 2 R 2 p 4 sen 2 pt  +...