Problemas Resueltos Minimos Cuadrados

Problemas resueltos
La línea r e c t a
13.1

a)

Construya una línea recta que se aproxime a los datos de la tabla 13-1.

b)

Encuentre una ecuación para esta recta.
T a b l a 13-1

X

2

3

5

7

9

10

Y

1

3

7

11

15

17

SOLUCIÓN

á)

Grafique los puntos (2, 1), (3, 3), (5, 7), (7, 11), (9, 15) y (10. l T i a a s a B *
rectangular de coordenadas, como se muestra en la figura 13-4.Estádarocananas-

2 9 C

_-Z

•

Ajuste

de curvas

y el método

de mínimos

cuadrados

F I G U R A 13-4

/
4
/

16-

P
/
/

124
/
8-

*

/

/
/

4^
4
/

1
4

b)

1

1
8

—x

1

12

ra que todos los puntos se encuentran en una línea recta (marcada con línea»
discontinuas); por lo tanto, una línea recta se ajusta a los datos exactamente,
Para determinar la ecuación de la recta dada por
Y=a + a,X
(26*
sólose necesitan dos puntos. Elija los puntos (2, 1) y (3, 3), por ejemplo. Par; :
punto (2, 1), X= 2 y K = 1; sustituyendo estos valores en la ecuación (26) resulta
a

1 = a + 2a,
0

De manera similar, para el punto (3, 3), X = 3 y Y = 3; sustituyendo estos valores a
la ecuación (26) resulta
3 = a + 3a,
0

Resolviendo las ecuaciones (27) y (28) simultáneamente, a = -3 y ai = 2, la ecuac:::
requeridaes
y = - 3 + 2X o
y=2X-3
Para verificar, se puede mostrar que los puntos (5, 7), (7, 11), (9, 15) y (10.
también se encuentran en la recta.
0

13.2

En el problema 13.1 calculea) Y cuando X - 4, b) y c u a n d o X = 15, c) ycuando.Y
= 0, d) Xcuando Y= 7.5, e) Xcuando Y-0 y / ) el incremento en y correspondiente
al crecimiento de una unidad en X.
SOLUCIÓN

Se asume que la misma ley de relación, Y=2 X - 3, es válida para valores d e X y Kdiferentes de aquellos especificados en la tabla 13-1.
a)

b)

c)

d)
e)

/)

Si X = 4, Y= 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5. Dado que se busca el valor de y correspondiente a
un valor de X incluido entre dos valores dados de X, este proceso suele llamarse
interpolación lineal.
Si X = 15, y = 2(15) - 3 = 30 - 3 = 27. Puesto que se busca el valor de Kcorrespondiente a unvalor de Xfuera de o exterior a los valores dados de X, este proceso suele
llamarse extrapolación lineal.
Si X = 0, y = 2(0) - 3 = 0 - 3 = - 3 . El valor de Y cuando X = 0 se denomina la
intersección en Y. Es el valor de y en el punto en que la recta (extendida si es necesario) se cruza con el eje Y.
Si y = 7 . 5 , 7.5 = 2 X - 3 ; entonces, 2 X = 7.5+ 3 = 10.5 y X = 10.5/2 = 5.25.
Si y = 0, 0 =2X - 3; luego, 2X = 3 y X = 1.5. El valor de X cuando Y = 0 se llama la
intersección en X. Es el valor de X en el punto donde la recta (extendida si es preciso)
se cruza con el eje X.
Si X se incrementa una unidad de 2 a 3, y se incrementa de 1 a 3, un cambio de dos
unidades. Si X se incrementa de 2 a 10, o (10 - 2) = 8 unidades, entonces y se incrementa de 1 a 17 o (17 - 1) = 16 unidades; esdecir, un aumento de 16 unidades en Y
corresponde a un aumento de 8 unidades en X o y se incrementa dos unidades por
cada incremento de una unidad en X.

Problemas

resueltos

•

291

En general, si A Y denota el cambio en y debido a un cambio en Xde AX. entonces d
cambio en Y por unidad de cambio en X está dado por A17AX = 2. Esto se llama la pendiente de la recta y siempre es igual a a, en laecuación Y=a + a,X. La constante oo es la
intersección en y de la recta [véase el inciso c)].
0

La pregunta anterior también puede responderse directamente de la gráfica de la figura
13-4.
13.3

a)

Muestre que la e c u a c i ó n de una recta que pasa por los puntos ( X , , y , ) y
está dada por

(X ,Y )
2

2

Y-Y =-?—±{X-X )
x

b)

x

Encuentre la e c u a c i ó n de una recta que pasa por los puntos(2, - 3 ) y (4, - 5 ) .

SOLUCIÓN

a)

La ecuación de una recta es
y = a + aiX

(29)

y, = a + a,X,

(30)

Y =a + X

(31)

0

Dado que ( X , ^ ) está en la recta,
0

Dado que (X ,K ) está en la recta,
2

2

2

0

a¡

2

Restando la ecuación (30) de la (29),
y-y^CÍX-X,)

(32)

Restando la ecuación (50) de la (31),
y -y,=a,(X -X,)
2

o

2

a,=^—^
X - Ai
2

Sustituyendo este valor de a, en la...