Problemas Transformadas De Fourier

Ingenier´ Inform´tica ıa a Medios de Transmisi´n (MT) o

Problemas del tema 4 An´lisis de Fourier de se˜ales a n y sistemas cont´ ınuos

Curso 2002-03 22/11/2002

Ejercicios b´sicos a

1. Considere un sistema LTI con respuesta al impulso h(t) = sen 5π t 2 πt

Determine la salida a las siguientes entradas a) x(t) = sen 2πt + π 4 b) x(t) = sen(2πt) + cos(4πt) c) x(t) = cos(2πt) +sen(3πt) d ) x(t) = (sen 3πt)(cos 5πt) e) x(t) = cos3 πt 2. Calcule la transformada de Fourier de las siguientes se˜ ales: n a) e−αt cos ωo t u(t), α>0

b) e2+t u(−t + 1) c) x(t) = e−3|t| sen 2t d ) e−3t [u(t + 2) − u(t − 3)] e) x(t) = f ) x(t) = 1 + cos πt, |t| ≤ 1 0, |t| > 1

sen πt πt

g) La se˜ al de la figura 1 n

sen 2π(t − 1) π(t − 1)

Figura 1: 3. Calcule la transformada de Fourierinversa de las siguientes se˜ ales n 2

a) X(ω) =

b) X(ω) = cos(4ω + π/3)

2sen[3(ω − 2π)] ω − 2π)

c) X(ω) cuyo m´dulo y fase est´n dados por la figura 2. o a d ) X(ω) = 2[δ(ω − 1) − δ(ω + 1)] + 3[δ(ω − 2π) + δ(ω + 2π)]
1 −1 -1 Modulo 1 ω Fase −π/2 1 ω π/2

Figura 2: 4. Calcule la transformada de Fourier de las siguientes se˜ ales: n a) x(t) = ej200t b) x(t) = cos[π(t − 1)/4] c) x(t) = cos4t + sen 8t

d ) x(t) = cos 4t + sen 6t e) x(t) = [1 + cos 2πt][cos(10πt + π/4)] f ) x(t) = sen t + cos(2πt + π/4) g) La se˜ al de la figura 3 n

Figura 3: 5. Considere el sistema LTI caracterizado por h(t) = e−4t u(t). Calcule la salida para cada una de las siguientes entradas: a) x(t) = cos 2πt 3

b) x(t) = sen 4πt + cos (6πt + π/4)
∞

c) x(t) =
k=−∞ ∞

δ(t − k)

d ) x(t) =

k=−∞(−1)k δ(t − k)

6. Calcule la convoluci´n de los siguientes pares de se˜ ales x(t) y h(t) calculando o n X(ω) y H(ω), usando la propiedad de convoluci´n y hallando la transformada de o Fourier inversa. a) x(t) = te−2t u(t), h(t) = e−4t u(t) b) x(t) = te−2t u(t), h(t) = te−4t u(t) c) x(t) = e−t u(t), h(t) = et u(−t) 7. Sea X(ω) la transformada de Fourier de la se˜ al x(t) dibujada en la figura4 n
x(t) 2 1 -1 1 2 3

Figura 4: a) Calcular X(0) b) Calcular
∞ −∞

X(ω)dω

Nota: Todos los c´lculos deben hacerse sin evaluar de forma expl´ a ıcita X(ω). 8. Considere que la se˜ al x(t) = cos 2πt + sen 6πt es la entrada a cada uno de los n sistemas LTI que se dan a continuaci´n. Determine la salida en cada caso: o sen 4πt πt [sen 4πt][sen 8πt] b) h(t) = πt2 sen 4πt cos 8πt c) h(t) = πta) h(t) =

4

9. Considere un sistema LTI cuya respuesta a la entrada x(t) = [e−t + e−3t ]u(t) es y(t) = [2e−t − 2e−4t ]u(t) a) Determine la respuesta en frecuencia del sistema. b) Calcule la respuesta al impulso. c) Encuentre la ecuaci´n diferencial que relaciona la entrada y la salida. o 10. Considere una se˜ al x(t) cuya transformada de Fourier X(ω) tiene la forma de la n figura 5. Dibujela el espectro de y(t) = x(t)p(t) para cada uno de los siguientes posibilidades de p(t) a) p(t) = cos(t/2) b) p(t) = cos t c) p(t) = cos(2t) d ) p(t) = (sen t)(sen 2t) e) p(t) = cos 2t − cos t

Figura 5: 11. La salida y(t) de un sistema LTI est´ relacionada con la entrada x(t) a trav´s de a e la ecuaci´n diferencial o dy(t) + 2y(t) = x(t) dt a) Determine la respuesta en frecuencia b) Si x(t) =e−t u(t), determine la salida Y (ω), la transformada de Fourier de la salida. c) Determine la salida y(t) para la entrada x(t) del apartado anterior. 12. La entrada y la salida de un sistema LTI est´n relacionadas por la ecuaci´n difera o encial dy(t) d2 y(t) +6 + 8y(t) = 2x(t) 2 dt dt 5

a) Encuentre la respuesta al impulso de este sistema. b) ¿Cual es la salida de este sistema si x(t) = te−2tu(t)? c) Repita el apartado (a) para el sistema descrito por la ecuaci´n o d2 y(t) √ dy(t) d2 x(t) + 2 + y(t) = 2 − 2x(t) dt2 dt dt2 13. ¿Puede la respuesta de un sistema LTI a x(t) = Justifique su respuesta. 14. a) Utilice el teorema de convoluci´n para demostrar que o sen(πt) πt sen(πt) sen(πt) = πt πt sen(πt) πt sen(πt) πt
2

sen(πt) ser y(t) = πt

sen(πt) πt

2

?.

b) Calcule la...