Proceso de poisson

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Proceso de Poisson
El proceso de llegada de Poisson es uno de los más usados en el diseño de los modelos de colas. Se utilizan tres enunciados básicos para definir el proceso de llegada de Poisson. Considérese un pequeño intervalo de tiempo t, separando los tiempos t y (t + t). Entonces:
1. La probabilidad de una llegada en el intervalo t es t, siendo  una constante de proporcionalidadespecificada.
2. La probabilidad de cero llegadas en t es (1-t)
3. Las llegadas son procesos sin memoria: cada llegada (evento) en un intervalo de tiempo es independiente de eventos en intervalos previos o futuros.

Con esta última definición, el proceso de Poisson se ve como un caso especial de un proceso de Markov. Nótese que, de acuerdo con los enunciados 1 y 2, queda excluido elcaso de más de una llegada u ocurrencia de un evento en el intervalo t.
Sea pk(t) la probabilidad de que ocurran k llegadas fallas durante un tiempo t. La probabilidad de que haya cero llegadas hasta el tiempo t +t viene dada por:

p0( t +t) = (1-t)p0(t)

Es decir que el producto de la probabilidad de que no ocurra una llegada en el intervalo t y de la probabilidad de que haya habidocero llegadas antes de t. Se hace el producto ya que es la probabilidad de dos eventos independientes.
Rearreglando la expresión anterior y tomando el límite cuando t  0, se obtiene una ecuación diferencial que describe el proceso en forma continua:

dp0(t)/dt = -p0(t)

Poniendo la condición que p0(0) = 1, se obtiene la solución : p0(t) = .
Análogamente, la probabilidad de que hayauna llegada hasta el tiempo t +t viene dada por:

p1( t +t) = (1-t)p1(t) + t p0(t)

Es decir que el producto de la probabilidad de que no ocurra una llegada en el intervalo t y de la probabilidad de que haya habido una llegada antes de t, sumado a la probabilidad de que ocurra una llegada en el intervalo t y que haya habido cero llegadas antes de t.
Rearreglando la expresiónanterior y tomando el límite cuando t  0, se obtiene una ecuación diferencial que describe el proceso en forma continua:

dp1(t)/dt = p0(t) - p1(t)

Poniendo la condición que p1(0) = 1 y como además p0(t) = , se obtiene la solución: p1(t) = t .
Generalizando el proceso, se encuentra que la probabilidad p(k) de k llegadas en T dada como:

p(k) = (T)ke-T/k! k = 0, 1, 2. ••••(1)

Esta se conoce como distribución de Poisson. Se deja al lector mostrar que el valor esperado está dado por E(k) = T y que la varianza también resulta ser T.
El parámetro , definido originalmente como una constante de proporcionalidad (véase el enunciado 1 para el proceso de Poisson), resulta ser un parámetro de velocidad:  = E(k)/T. Representa entonces la tasa promedio dellegadas de Poisson.
Ahora considérese un intervalo grande de tiempo, y señálense los intervalos en los que ocurre un evento (llegada) de Poisson. Se obtiene una secuencia aleatoria de puntos como la mostrada en la figura 2.


Figura 2. Llegadas de Poisson

El tiempo entre las llegadas sucesivas se representa con el símbolo . Es evidente que  es una variable aleatoria positiva condistribución continua. En la estadística de Poisson,  es una variable aleatoria con distribución exponencial; es decir, su función de densidad de probabilidad f() está dada por:

f() = e-   0 (2)

Esta distribución exponencial entre llegadas se esboza en la figura 3. En procesos de llegada de Poisson, el tiempo entre llegadas es más bien pequeño, y la probabilidad entre doseventos (llegadas) sucesivos disminuye en forma exponencial con el tiempo .



Figura 3. Distribución exponencial entre llegadas

Después de un cálculo simple, se ve que el valor medio E() de esta distribución expo¬nencial es:

E( ) = = 1/ (3)

mientras que la varianza está dada por:

2 = E( ) = 1/ (4)

El tiempo promedio entre...
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