Procesos Estocásticos Y De Poisson

Modelos de Evaluación del Rendimiento de Sistemas Informáticos
Procesos Estocásticos y Procesos de Poisson.


1. Suma de dos procesos de Poisson independientes. Sean {N1(t)} y {N2(t)} dosprocesos de Poisson independientes con parámetros (1 y (2, respectivamente. Definir N(t)=N1(t)+N2(t).

a) Demostrar que

P[N1(t)=k | N(t)= n] =
Donde p = (1/((1+(2)





Solución:Sabemos que:


P[N(s)=n | N(t)=m] =[pic]


Cuando condicionamos un sumando a una suma tengo una binomial de parámetro p.


P[N1(t)=k |N(t)=n]= [pic]


Como N1 y N2 sonindependientes, entonces


Donde el primer término es n sobre k, el segundo p elevado a k y el tercero (1-p) elevado a n-k.


2. Supongamos que un proceso de Poisson {N(t)} con razón ( es filtrado deforma que no todas las ocurrencias se cuentan. Si los sucesos se cuentan con una probabilidad constante p, demostrar que el suceso resultante es un proceso de Poisson de razón (p.


Solución:Sea {M(t)} el proceso de los sucesos que se cuentan. Tenemos que demostrar la distribución de M(t).


que como sabemos por ejercicios anteriores es una binomial, es decir, la probabilidadde contar un suceso p, si se han dado n sucesos se convierte en una binomial.


[pic][pic]


3. Sean r y n enteros positivos con r ( n y t un número real positivo. Demostrar que en un procesode Poisson, el tiempo de espera hasta el suceso r-ésimo dado que durante el tiempo t han ocurrido n sucesos tiene como función de densidad





Solución:


Sea Sr = momento en el quesucede el r-ésimo suceso.


F(x)= función de Sr|N(t)=n


En total hay n y el r-ésimo se tiene que producir entre x y x+h, luego hasta x se han dado r-1, entre x y x+h hay 1 y desde x+h sedan n-r. Como todos son independientes y estacionarios de parámetro ((long intervalo), nos queda:


4. Los pasajeros de un determinado tren llegan a la estación de acuerdo a un proceso de Poisson...