PROCESOS ESTOCASTICOS

Procesos Estoc´sticos
a
Entregar el 14 de febrero.
Justifica completa y cuidadosamente todas tus respuestas. En donde haya cualquier afirmaci´n, si es cierta
o
demu´strala y si es falsa, da uncontraejemplo.
e
1. Para la cadena de Markov con dos estados, calcula
(a)
(b)
(c)
(d)

P[X1 = 0|X0 = 0, X2 = 0] ,
P[X1 = X2 ],
P[Xn = 0, Xi = 0, i = 1, 2, . . . n − 1|X0 = 0], y
P[Xn = 1, Xi =1, i = 1, 2, . . . n − 1|X0 = 0].

2. Hay 2d bolas, d rojas y d negras. Se distribuyen en dos urnas, de tal modo que en cada urna haya
d bolas. En cada tiempo se elige una bola de cada urna y seintercambian. Describe el proceso que
cuenta las bolas negras en la primera urna como un proceso de Markov y encuentra las probabilidades
de transici´n.
o
3. Para eventos en un espacio deprobabilidad (Ω, F, P), decide si es cierto que:
Si (Di )i son disjuntos,
(a) Si adem´s P[C|Di ] = p para toda i, entonces P[C| ∪i Di ] = p.
a
(b) P[∪i Di |C] = i P[Di |C]
(c) Si adem´s ∪i Di = Ω,entonces
a
P[Di |B]P[A|Di ∩ B].

P[A|B] =
i

(d) Si adem´s P[A|Di ] = P[B|Di ], para toda i, entonces P[A| ∪i Di ] = P[B| ∪i Di ],
a
4. Sea P la matriz de transici´n de una cadena de Markov conespacio de estados S, finito. La entrada
o
(n)
n
pij de la matriz P da la probabilidad de que, empezando en el estado si , se pase al estado sj en n
pasos.
5. Sea Xn , n ≥ 0, una cadena de Markov conespacio de estados S. Supongamos que A ⊆ S es tal que
P{Xn+1 = xn+1 |Xn = xn } = 0 si xn+1 ∈ A y xn ∈ A. Entonces Xn |A es una cadena de Markov.
/
6. ¿Sigue siendo v´lido lo anterior si suprimimosla hip´tesis de que P{Xn+1 = xn+1 |Xn = xn } = 0 si
a
o
xn+1 ∈ A y xn ∈ A?.
/
7. Sean x, y1 , y2 , . . . , ym ∈ S y A0 , A1 , . . . , An−1 subconjuntos de S. Entonces
P[Xn+1 = y1 , . . . , Xn+m= ym

|X0 ∈ A0 , . . . , Xn−1 ∈ An−1 , Xn = x]
= P (x, y1 )P (y1 , y2 ) · · · P (ym−1 , ym ).

8. Sean x ∈ S, B1 , B2 , . . . , Bm y A0 , A1 , . . . , An−1 subconjuntos de S. Entonces
P[Xn+1...