Productos notables







Productos notables
En las multiplicaciones algebraicas tanto como en las aritméticas se emplea un algoritmo es decir, ya están establecidos ciertos procedimientos paso a paso para llegar a la resolución de algún problema.
Aunque también existen productos algebraicos (los resultados de multiplicaciones algebraicas) que son la respuesta a alguna regla y que se simplifican elresultado. Estos productos son: Productos notables
Los productos notables son los que pueden ser obtenidos sin la necesidad de realizar la multiplicación término a término.
Estos son algunos de los más importantes:

1. Cuadrado de un binomio
El producto de un binomio (dos términos diferentes) por sí mismo, es llamado cuadrado de un binomio.
Para llegar al cuadrado de un binomio (a+b), se puedemultiplicar término a término:
(a+b)2 = (a+b) (a+b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
“El cuadrado de un binomio a +b es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto de los términos más el cuadrado del segundo término”

Ahora, al elevar al cuadrado el binomio a−b, también multiplicando término a término, se obtiene:
(a – b)2 = (a− b) (a − b) = a2 − ab − ba + b2= a2 − 2ab +b2
“El cuadrado de un binomio a −b es igual al cuadrado del primer término menos el doble del producto de los términos más el cuadrado del segundo término”.
Podemos notar que aquí se marca una diferencia por la ley de los signos (signos iguales dan como resultado positivo y signos desiguales negativo)



2. Cuadrado de un polinomio
El producto de un trinomio por sí mismo, se le llamacuadrado de un trinomio.
El desarrollo del cuadrado del trinomio a +b +c se puede obtener de la siguiente forma:
(a + b + c)2 = [(a + b) + c] 2= (a + b) 2 + 2 (a + b) c + c2= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
Ordenando se obtiene:
(a+ b+ c)2= a2+ b2+ c2+ 2ab+ 2ac+ 2bc
Por su parte, el desarrollo del cuadrado del polinomio de cuatro términos a +b +c + d se puede obtener de la siguiente forma:
(a+ b + c + d)2 = [ (a + b)+ (c + d)]2= (a + b)2 + 2 (a + b) ( c + d) + (c + d)2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + c2 + 2cd + d2
Ordenando se obtiene:
(a+b+ c+ d)= a2+ b2+ c2+ d2+ 2ab+2ac+ 2ad+ 2bc+ 2bd+ 2cd
“El cuadrado de un polinomio está dado por la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos más el doble producto algebraico de sus términos, tomados de dos en dos”

3.Productos de dos binomios conjugados
Dos binomios son conjugados si solo los diferencia un singo de uno de sus términos.
Ejemplos.
1) (4a + 3b) y (4a −3b)
2) (2k −5 j) y (2k + 5 j)
Al efectuar el producto de un binomio (a + b) por su conjugado (a – b), se tiene:
(a + b) (a – b) = a2− ab + ba – b2= a2− b2
“Esto significa que el producto de dos binomios conjugados es igual a la diferencia delos cuadrados de sus términos.”
Esto es:
(a + b) (a – b) = a2 – b2

4. Producto de dos binomios con un término común
Este producto notable corresponde a la multiplicación de dos binomios que tienen como termino común “x”.
Por ejemplo: (x+a) (x+b)
Al realizar la multiplicación se obtiene:
(x + a)(x + b) = x2 + xb + xa + ab
Se puede agrupar:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
“Estosignifica que el producto de binomios con un término común es el cuadrado del término común, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos.”

5. Cubo de un binomio
Para realizar el desarrollo de cubo de un binomio se puede obtener multiplicando este binomio por su cuadrado.
(a + b)3 =(a + b) (a + b)2 =(a + b) (a2 + 2ab + b2)= a3 + 2a2 b + ab2 + ba2 + 2ab2+ b3
Que se puede simplificar:
(a+b)3= a3 + 3a2 b + 3 ab2 + b3


Por lo tanto, el desarrollo del cubo del binomio (a-b), se resuelve de manera similar:
(a – b)3 = (a – b) (a – b)2 = (a – b) (a2 − 2ab + b2) =
a3 – 2a2 b + ab2− ba2 + 2ab2 – b3
Que simplificado es:
(a-b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 - b3

“El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del...