Programación Lineal

Introducción a la programación lineal

En cualquier empresa, muchas de las decisiones que se toman tienen por objeto hacer el mejor uso posible (optimización) de los recursos de la misma. Por recursos de una instalaciones, y las materias primas de que disponga. Tales recursos deben ser usados para fabricar productos (electrodomésticos, muebles, ropa, etc). La Programación Lineal (PL) es unatécnica matemática diseñada para ayudar a los directivos en la planificación y toma de decisiones referentes a la asignación de recursos.
Como ejemplos de problemas donde PL desarrolla un papel funadamental, podríamos citar:
1. A partir de los recursos disponibles, determinar las unidades a producir de cada bien de forma que maximice el beneficio de la empresa.

2. Elegir materias primas enprocesos de alimentación, para obtener mezclas con unas determinadas propiedades al mínimo coste.

3. Determinar el sistema de distribución que minimice el coste total de transporte, desde diversos almacenes a varios puntos de distribución.

4. Desarrollar un plan de producción que, satisfaciendo las demandas futuras de los productos de una empresa, minimice al mismo tiempo los costes totales deproducción e inventario.

Características de un problema de PL
Las técnicas de PL han sido ampliamente utilizadas en ámbitos tan diferentes como el militar, industrial, financiero, de marketing, e incluso agrícola. A pesar de tal diversidad de aplicaciones, todos los problemas de PL tienen cuatro propiedades comunes:
1. Pretenden optimizar (maximizar o minimizar) alguna cantidad (funciónobjetivo). Así, por ejemplo, el principal objetivo de un banquero sería maximizar los beneficios, mientras que el principal objetivo de una empresa transportista podría ser minimizar los costes de los envíos.
2. Habrá que tener en cuenta las restricciones que limitan el grado en el cuál es posible modificar las variables que afectan a nuestra función objetivo. Así, a la hora de decidir cuántasunidades de cada bien se han de producir, deberemos considerar, entre otras, las limitaciones de personal y maquinaria de que disponemos.
3. El problema debe presentar distintas alternativas posibles: si una compañía produce cuatro bienes diferentes, la dirección puede usar PL para determinar las cantidades de recursos que asigna a la producción de cada uno de ellos (podría optar por hacer unaasignación ponderada, dedicar todos los recursos a la producción de un único bien abandonando la producción del resto, etc.)

Planeamiento de un problema de PL
Ejemplo: una empresa fabrica dos modelos de mesas para ordenador, M1 y M2. Para su producción se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo M1 y de 30 minutos para el M2; y un trabajo de máquina de 20 minutos para M1 y de 10minutos para el M2. Se dispone de 100 horas al más de trabajo manual y de 80 horas al mes de máquina. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 1,5 y 1$ para M1 yM2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

Nos limitaremos ahora a plantear formalmente el problema:
Llamando: X al número de unidades producidas de M1, e
Y al número de unidades producidasde M2.
Función objetivo: maximizar Z(X,Y)= 1,5 X + Y
Preseptor
Restricciones: Sujeto a: 20 X + 30Y =0

Las dos últimas restricciones si bien no constan de forma explícita en el enunciado, si figuran en forma implícita, pues el número de mesas no puede ser inferior a 0.

Supuestos básicos de la PL

Desde el punto de vista técnico, hay cinco supuestos que debe cumplir todo problemade programación lineal:
1. Los coeficientes, tanto de la función objetivo como de las restricciones, son conocidos con exactitud y además no varían en el tiempo en que se realiza el estudio (supuesto de certidumbre)
2. Tanto la función objetivo como en las restricciones hay proporcionalidad: si para la producción de un bien empleamos 5 horas de un determinados recurso (mano de obra,...