programacion lineal

Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 pesos para L1 y L2,respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.
Solución
1.Eleccion de incognitas.
X=nº de lámparas L1
Y=nº de lámparas L2
2.Funcion objetivo
F(x,y)= 15x+10y
3.RestriccionesPasamos los tiempos a horas
20min=1/3 h
30min=1/2 h
10min=1/6 h
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
L1 L2 Tiempo
Manual 1/3 ½ 100Maquina 1/3 1/6 80
1/3+1/2≤100
1/3+1/6≤80
Como el numero de lámparas son números neutrales, tendremos dos restricciones mas:
x≥0
y≥0
4.- Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente restricciones.
Al ser x≥0 y y≥0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemosgráficamente la inecuación: 1/3x+1/2y≤100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).
1/3∙0+1/2≤100
1/3∙0+1/6≤80
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones seria la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

5.-Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución optima si esúnica se encuentra en un vértice del recinto. Estos son las soluciones a los sistemas:
1/3+1/2=100; x=0(0,200)
1/3x+1/6y=80; y=0(240,0)
1/3x+1/2y=100; 1/3x+1/6y=80(210,60)

6.Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
f(x, y) = 15x + 10y
f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 $
f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 $
f(210, 60) = 15·210+ 10·60 = 3 750 $    Máximo
R=La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener un beneficio de 3 750 $.
Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 $ y el de uno pequeño 600 $. Calcular cuántos autobusesde cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.
Solución
1.Eleccion de las incognitas.
X=autobuses pequeños
Y=autobuses grandes
2.Funcion objetivo
F(x,y)=600x+800y
3.Restricciones40x+50y≥400
X+y≤9
x≥0
y≥0
4.Hallar el conjunto de soluciones factibles

5.- Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las solucionesfactibles.

6. Calcular el valor de la función objetivo
f(0, 8) = 600 · 0 + 800 · 8 = 6 400 $
f(0, 9) = 600 · 0 + 800· 9 = 7 200 $
f(5, 4) = 600 · 5 + 800· 4 = 6 200 $    Mínimo
R=El coste mínimo es de 6 200 $, y se consigue 4 autobuses grandes y 5 pequeños.
3.Una persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B. ¿Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B, ¿Qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar elrendimiento global? ¿A cuánto ascenderá?
Solución
Sean
X=cantidad invertida en acciones tipo A
Y=cantidad invertida en acciones tipo B
Las restricciones son :
Puede invertir en cada una de las dos opciones las cantidades correspondientes a cada uno de los puntos de la zona sombreada de la siguiente grafica:

La función de benficios es:

Y los vértices de la zona sombreda son :A intersección...