Programacion No Lineal
Páginas: 7 (1566 palabras)
Publicado: 11 de agosto de 2011
Unidad 3 Programación no lineal.
INTRODUCCION:
En Programación No Lineal (PNL) se abordan los problemas de optimización que se modelan mediante ecuaciones no lineales. Estas técnicas están menos desarrolladas que las de Programación Lineal, motivadas por la complejidad de los procedimientos implicados y por la variedad de tipos de funciones no lineales existentes. Salvo en algunos casosconcretos, la mayor’ a de los casos se terminan resolviendo mediante métodos de análisis Numérico en contraposición a los métodos algebraicos de la Programación Lineal . En forma genérica, en un espacio de n variables xi, el problema se plantea en forma canoníca como:
Donde es una función no lineal objetivo que debe ser un extremo maximizante y es un conjunto de m restricciones no lineales quedefine el dominio de soluciones factibles. Se impone la condición de que este dominio sea convexo.
El problema también puede admitir las variantes de minimización y restricciones del tipo ≥ o =.
3.1 Optimización clásica.
Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones (Función objetivo y funciones de restricción) son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición secumple para muchos problemas prácticos, es frecuente que no sea así. De hecho, muchos economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programación no lineal.
De una manera general, el problema de programación no lineal consiste en encontrar paramaximizar ,
sujeta a
en donde y las son funciones dadas de n variables de decisión.
No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas específicos que se ajustan a este formato. Sin embargo, se han hecho grandes logros en lo que se refiere a algunos casos especiales, haciendo algunas suposiciones sobre las funciones, y la investigación sigue muy activa.
3.1.1Puntos de inflexión.
Un punto de inflexión se encuentra cuando la evaluación del gradiente da cero y no es un extremo, esto es, se debe de cumplir la condición de la matriz Hessiana.
3.1.2 Máximos y mínimos.
MAXIMOS Y MINIMOS
Mínimo (fuerte): Un punto extremo X0 de una función f(X0) define un mínimo de la función si f(X0+h) > f(X0), donde X0 es cualquier punto de la función y h envalor absoluto es suficientemente pequeña.
Máximo (fuerte): Un punto extremo X0 de una función f(X0) define un máximo de la función si f(X0+h) < f(X0), donde X0 es cualquier punto de la función y h en valor absoluto es suficientemente pequeña.
Una función puede contener varios máximos y mínimos, identificados por los puntos extremos de la función. En la figura 1 se puede observar esto, los puntosx1, x3 y x6 son máximos, de la figura notamos que f(x6) es el mayor que f(x1) y f(x3), a este punto se le conoce como máximo global de la función y a los restantes como máximos locales. Lo mismo se puede ver para los mínimos, en los que también existe un mínimo global f(x2) y un mínimo local f(x4). Como es de lógico, solo puede existir un solo global y posiblemente varios locales.
Fig. 1.Representación de máximos y mínimos en una función con una sola variable [Taha 1991].
Una condición necesaria pero no suficiente para que X0 sea un punto extremo, es que para una función con mas de una variable, el gradiente Ñ f(X0) = 0. Si es cierto esto entonces X0 será conocido como punto estacionario.
Una condición suficiente para que un punto estacionario sea extremo es que la matriz Hessiana Hobtenida en X0 del sistema de ecuaciones sea positiva cuando X0 es un punto extremo de mínimo. Y negativa cuando X0 es un punto extremo de máximo.
Un máximo débil implica un numero finito de máximos alternativos (ver figura 1) y se define como X0 es un máximo débil, si f(X0 + h) <= f(X0). Un análisis similar es para los mínimos débiles.
3.2 Problemas no restringidos.
Caso con...
INTRODUCCION:
En Programación No Lineal (PNL) se abordan los problemas de optimización que se modelan mediante ecuaciones no lineales. Estas técnicas están menos desarrolladas que las de Programación Lineal, motivadas por la complejidad de los procedimientos implicados y por la variedad de tipos de funciones no lineales existentes. Salvo en algunos casosconcretos, la mayor’ a de los casos se terminan resolviendo mediante métodos de análisis Numérico en contraposición a los métodos algebraicos de la Programación Lineal . En forma genérica, en un espacio de n variables xi, el problema se plantea en forma canoníca como:
Donde es una función no lineal objetivo que debe ser un extremo maximizante y es un conjunto de m restricciones no lineales quedefine el dominio de soluciones factibles. Se impone la condición de que este dominio sea convexo.
El problema también puede admitir las variantes de minimización y restricciones del tipo ≥ o =.
3.1 Optimización clásica.
Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones (Función objetivo y funciones de restricción) son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición secumple para muchos problemas prácticos, es frecuente que no sea así. De hecho, muchos economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programación no lineal.
De una manera general, el problema de programación no lineal consiste en encontrar paramaximizar ,
sujeta a
en donde y las son funciones dadas de n variables de decisión.
No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas específicos que se ajustan a este formato. Sin embargo, se han hecho grandes logros en lo que se refiere a algunos casos especiales, haciendo algunas suposiciones sobre las funciones, y la investigación sigue muy activa.
3.1.1Puntos de inflexión.
Un punto de inflexión se encuentra cuando la evaluación del gradiente da cero y no es un extremo, esto es, se debe de cumplir la condición de la matriz Hessiana.
3.1.2 Máximos y mínimos.
MAXIMOS Y MINIMOS
Mínimo (fuerte): Un punto extremo X0 de una función f(X0) define un mínimo de la función si f(X0+h) > f(X0), donde X0 es cualquier punto de la función y h envalor absoluto es suficientemente pequeña.
Máximo (fuerte): Un punto extremo X0 de una función f(X0) define un máximo de la función si f(X0+h) < f(X0), donde X0 es cualquier punto de la función y h en valor absoluto es suficientemente pequeña.
Una función puede contener varios máximos y mínimos, identificados por los puntos extremos de la función. En la figura 1 se puede observar esto, los puntosx1, x3 y x6 son máximos, de la figura notamos que f(x6) es el mayor que f(x1) y f(x3), a este punto se le conoce como máximo global de la función y a los restantes como máximos locales. Lo mismo se puede ver para los mínimos, en los que también existe un mínimo global f(x2) y un mínimo local f(x4). Como es de lógico, solo puede existir un solo global y posiblemente varios locales.
Fig. 1.Representación de máximos y mínimos en una función con una sola variable [Taha 1991].
Una condición necesaria pero no suficiente para que X0 sea un punto extremo, es que para una función con mas de una variable, el gradiente Ñ f(X0) = 0. Si es cierto esto entonces X0 será conocido como punto estacionario.
Una condición suficiente para que un punto estacionario sea extremo es que la matriz Hessiana Hobtenida en X0 del sistema de ecuaciones sea positiva cuando X0 es un punto extremo de mínimo. Y negativa cuando X0 es un punto extremo de máximo.
Un máximo débil implica un numero finito de máximos alternativos (ver figura 1) y se define como X0 es un máximo débil, si f(X0 + h) <= f(X0). Un análisis similar es para los mínimos débiles.
3.2 Problemas no restringidos.
Caso con...
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