Programacion No Lineal

Instituto Tecnológico de Nuevo León



Investigación de Operaciones
Programación No Lineal




Miércoles, 02 de mayo del 2012.
Conceptos Básicos.-
Un modelo de Programación Lineal (PNL) es aquel donde las variables de decisión seexpresan como funciones no lineales ya sea en la función objetivo y/o restricciones de un modelo de optimización. Esta característica particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde existen economías o des economías de escala o en general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen.
La Programación no Lineal (PNL) es una parte de la InvestigaciónOperativa cuya misión es proporcionar una serie de resultados y técnicas tendentes a la determinación de puntos óptimos para una función (función objetivo) en un determinado conjunto (conjunto de oportunidades), donde tanto la función objetivo, como las que intervienen en las restricciones que determinan el conjunto de oportunidades pueden ser no lineales.
Evidentemente, la estructura del problemapuede ser muy variada, según las funciones que en él intervengan (a diferencia de la Programación Lineal (PL) donde la forma especial del conjunto de oportunidades y de la función objetivo permiten obtener resultados generales sobre las posibles soluciones y facilitan los tratamientos algorítmicos de los problemas).
Ello ocasiona una mayor dificultad en la obtención de resultados, que se reflejatambién en la dificultad de la obtención numérica de las soluciones. En este sentido, hay que distinguir entre las diversas caracterizaciones de óptimo, que sólo se emplean como técnicas de resolución en problemas sencillos, y los métodos numéricos iterativos, cuyo funcionamiento se basa en estas caracterizaciones, para la resolución de problemas más generales.

Ilustración grafica de problemasde programación no lineal.-
Cuando un problema de programación no lineal tiene solo una o dos variables, se puede representar gráficamente de forma muy parecida a algún ejemplo anterior de programación lineal. Se verán unos cuantos ejemplos, ya que una representación grafica de este tipo proporciona una visión global de las propiedades de las soluciones óptimas de programación lineal y no lineal.Con el fin de hacer hincapié en las diferencias entre programación lineal y no lineal, se usaran algunas variaciones no lineales del problema anterior. La figura siguiente muestra lo que ocurre con este problema si los únicos cambios que se hacen al modelo mencionado son que la segunda y tercera restricciones funcionales se sustituyen por la restricción no lineal 9X21 + 5X22 <=216. Compare lasfiguras que se presentan a continuación. La solución optima sigue siendo (X1, X2)=(2,6). Todavía se encuentra sobre la frontera de la región factible, pero no es una solución factible en un vértice (FEV). La solución optima
Pudo haber sido una solución FEV con una función objetivo diferente (verifique Z=3X1 + X2), pero que no necesite serlo no significa que ya no se puede aprovechar la gransimplificación utilizada en programación lineal que permite limitar la búsqueda de una solución optima para las soluciones FEV. Ahora suponga que las restricciones lineales d la sección anterior se conserva sin cambio, pero que la función objetivo se hace no lineal.
Por ejemplo si:

Entonces la representación grafica en la anterior indica que la solución óptima es X1=8/3, X2=5, que de nuevo seencuentra en la frontera de la región factible. (El valor optimo de Z es Z=857, así en la figura anterior muestra el hecho de que el lugar geométrico de todos los puntos para los que z=857 tiene en común con la región factible solo este punto, mientras que el lugar geométrico de los puntos con Z mas grandes no toca la región factible en ningún punto.) Por otro lado, si

Entonces la siguiente...