Programacion No Lineal

Reporte de la práctica: __1__
Nombre de la práctica: _Programación No Lineal: Programación Cuadrática___
Carrera: Ingeniería en Sistemas Computacionales
Asignatura: Investigación de Operaciones
Unidad: 3 Subtema: Programación No Lineal (PNL)

Realizada en forma: Ind. Si
Objetivo:

Realizar una investigación acerca de la PNL y dar un ejemplo de uno de sus problemas de solución.Material y/o equipo utilizado:

Laptop
Internet
Navegadores
Impresora
Creador y lector de textos
Enunciado del ejercicio / planteamiento del problema:

Resolver el siguiente problema de programación cuadrática [1]:

Mínimo de la función:


Min z=(x1-2)^2+(x2-2)^2
S.a X1+2X2≤3;
8X1+5X2≥10;
Xi≥0;

Procedimiento:

Paradesarrollar el problema se hace lo siguiente:

(x1-2)^2+(x2-2)^2=a^2

En esta ecuación nos podemos dar cuenta que contamos con una circunferencia de radio “a” y centro en (2, 2). Por lo tanto, para obtener el Mínimo de Z se necesita calcular el mínimo valor de “a” que cumpla las restricciones.
Gráficamente tenemos la situación de la figura y en ella vemos que el valor mínimo de “a” queverifica las restricciones es el de la perpendicular desde el punto (2, 2) a la recta dada por:



pues en dicho punto se tiene:



y de ese modo se cumplen todas las restricciones.







Para obtener la perpendicular hacemos:



y puesto que pasa por el punto (2, 2):



con lo que tendremos:
































Resultado:Sustituyendo los valores obtenidos en X1 y X2 en la ecuación de la función dada al inicio nos da lo siguiente:

Min z=(x1-2)^2+(x2-2)^2 ; x1=7/5; x2=4/5;
Se sustituyen:

z=(7/5-2)^2+(4/5-2)^2
z= .36+1.44
z= 1.8

Teniendo así los siguientes valores como resultado:

x1=7/5; x2=4/5; z= 1.8



























Investigación adicionalsobre el tema:

Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una función objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales [2].

Cuando un problema de PNL tiene solo una o dos variables, se puederepresentar en forma gráfica. Si las funciones no son lineales, se dibujan curvas en lugar de rectas, por lo que la función objetivo y región factible dejaran de tener el aspecto que adquieren en la PL. La solución no tiene porque estar en un vértice de la región factible, ni siquiera tiene porque encontrarse en la frontera de esta [3].

Una suposición importante de la Programación Lineal (PL) es quetodas sus funciones (función objetivo y funciones de restricción) son lineales. Aunque esta suposición se cumple para muchos problemas prácticos, con frecuencia no es así. De hecho muchos economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programación nolineal [2].

Se pueden encontrar una variedad de distintos tipos de problemas de Programación No Lineal, estos son los siguientes [4]:

Optimización no restringida.
Optimización linealmente restringida.
Programación cuadrática
Programación convexa.
Programación separable.
Programación no convexa.
Programación geométrica.
Programación fraccional.
Problema de complementariedad.PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA

Se le da este nombre al procedimiento que consiste en minimizar una función cuadrática de n variables sujeta a k restricciones lineales de igualdad o desigualdad. Un programa cuadrático es la forma más simple de problema no lineal con restricciones de desigualdad. La importancia de la programación cuadrática es debida a que un gran número de problemas aparecen de...