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Matrices y transformaciones

La simetría “corre” por nuestras venas. Esta imagen representa el núcleo central del grupo hemo, el centro activo de la hemoglobina que oxigena nuestras células.
Fuente: http://www.cienciateca.com/simetria.html

21

Matrices y transformaciones geométricas en el plano
Una transformación en un plano, es una aplicación que hace corresponder a cada punto P decoordenadas (x,y) del plano, otro punto P’ de coordenadas (x’, y’) del mismo plano. En consecuencia, cualquier conjunto de puntos F se puede transformar en otro conjunto de puntos F’.

Transformaciones usuales
Traslación
v

Mantienen la forma y el

Rotación

tamaño de la figura

(son isometrías o movimientos Axial Central

Simetría

rígidos).

Homotecia

Varía el tamaño de lafigura pero no la forma.

Traslación
Geométricamente la traslación T representa el desplazamiento de un punto o conjunto de puntos según un vector fijo v, no nulo. La figura de la mano fue trasladada desde la posición A hasta la posición B. Observa que ningún punto de la figura inicial permanece fijo.

v

A

Fascículo 21 • Matrices y transformaciones

162

B

Composición detraslaciones
Si al resultado de una traslación se le aplica otra traslación, se dice que hay una composición de traslaciones. Traslación compuesta T3 = T2 o T1 (o compuesto con) según vector v3 = v1 + v2 Traslación T2 según vector v2 Traslación T1 según vector v1

C

A

B

Composición de varias traslaciones

Reja de balcón

A todo punto P de coordenadas (x,y) del plano, se le asocia el vectorr=(x,y) y la matriz columna columnas.

, de

manera que una traslación T según el vector v = (v1,v2) se puede identificar con una adición de matrices

Traslación según el vector representado por

Transforma el vector representado por

En el vector representado

De coordenadas

Operaciones con matrices

v1 v2

x y

x’ y’

x’ = x+v1 y’ = y+v2

x y

+

v1 v2

=

x+v1y+v2

Al trasladar el triángulo F según el vector v=(6, 4), resulta el triángulo F’. Realizemos la suma de matrices columnas asociada a cada vértice, con la matriz asociada al vector de traslación.

8

F’ 6 C

-4 0

+

6 4

=

2 4

-1 1

+

6 4

=

5 5

-5 5

+

6 4

=

1 9
A -8 -6 -4 -2 F B

4

2

v

Fascículo 21 • Matrices y transformaciones

163

0-1

2

4

6

Rotación
En la vida cotidiana se presentan situaciones como las siguientes:

O O

O

El abanico abre girando alrededor del punto O. Las aspas del ventilador y cada aguja del reloj gira alrededor de un punto único. Geométricamente una rotación en el plano representa una transformación o giro de una figura en torno a un punto fijo, llamado centro de rotación, que puedeestar o no dentro de la figura. Al rotar la figura F un ángulo θ en sentido antihorario alrededor del origen de coordenadas O, se obtiene la figura F’. Observa que hay un único punto fijo O que es el centro de rotación.
F’ B’ A B A’ θ F

O

Rotación y tecnología
Una forma de producir electricidad es a partir de la energía proporcionada por el viento o energía eólica. El dispositivo capaz derealizar esta conversión se denomina aerogenerador o generador eólico, y consiste en un sistema mecánico de rotación, provisto de aspas a modo de los antiguos molinos de viento, y de un generador eléctrico con el eje conectado al sistema motriz. De esta forma el viento, al hacer girar las aspas, hace también girar al generador eléctrico, que puede ser un alternador. Igual que en el caso de laenergía solar, es necesario disponer de acumuladores para almacenar la energía eléctrica con la finalidad de ser utilizada en los períodos sin viento.

Rotación

Transforma el vector En el vector representado por representado por

De coordenadas

Matriz asociada a la rotación

De ángulo θ
θ θ

x y
Sentidos de los ángulos

x’ y’

x’ = x cos θ - y sen θ y’ = x sen θ + y cos θ

cos θ...
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