Programación Lineal

Programación Lineal

Este nombre proviene del término militar, programar, que significa “realizar planes o propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las unidades de combate”.

Definición:

Se conoce como programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que permiten hallar una solución.

El cual busca optimizar una función objetivo, función linealde varias variables las cuales están dependientes a varias restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.

Los pasos para resolver un problema de programación lineal son:

1. Escoger las incógnitas.

2. Escribir la función objetivo en función de los datos que nos da el problema.

3. Poner las restricciones como un sistema de inecuaciones.

4. Averiguar el conjunto de solucionesfactibles representando gráficamente las restricciones.

5. Calcular las coordenadas de los vértices de las soluciones factibles. (Esto se hace solo si son pocos).

6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo, según lo exija el problema.

En problemas de Programación lineal intervienen:

* La función deun objetivo en la función f(x,y) = ax + by +c. ya que en esta expresión x e y son variables de decisión, mientras que a, b y c son las constantes.

* Las restricciones es que deben ser inecuaciones lineales. Su número es dependiente el problema. El carácter de desigualdad tiene limitaciones que son: inferiores a (< o ) ; como mínimo de ( mayores > o ). El resultado puede darse en cualquierade los dos sentidos, maximizada o minimizada.

* El conjunto (o región) factible es el conjunto intersección de los semiplanos que se forman por las restricciones que pueden llamarse región de validez. Se puede decir que también son el conjunto de valores de x e y que verifican cada una de las restricciones. Cualquier punto del conjunto puede ser solución del problema, o cualquier puntoque no pertenezca al conjunto no puede ser solución.

* La solución óptima son los vértices del recinto y es donde se presenta la solución esta puede ser máxima o mínima según el caso.

* Valor del programa lineal que es el valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima que recibe el nombre de valor del programa lineal.

Determinación de la región factible

Elproceso para determinar la región factible es el siguiente:

1. Resolver cada inecuación por separado, es decir encontrar el semiplano de soluciones de cada inecuación.

* Dibujar la recta asociada a la inecuación. Ya que esta recta es al que divide el plano en dos regiones o semiplanos.

* Averiguar la región valida.

2. La región factible está formada por la intersección o regióncomún.

* Como pasa con los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas de inecuaciones pueden presentar varias opciones con respecto a sus soluciones, ya que puede no existir solución, y en caso de que si haya solución el conjunto solución puede ser acotado o no.

Método gráfico

Son las rectas que dan los puntos del plano en los que la función objetivo toma el mismo valor.

Métodoanalítico

El teorema fundamental de la programación lineal, nos permiten conocer otro método con el cual poder solucionar un programa con dos variables.

Si existe una única solución esta se va a encontrar en el vértice de la región factible acotada. Nunca se va a encontrar en el interior de esa región.

Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma esevalor en los puntos del segmento.

Y si la región factible no es acotada, la función lineal no alcanza un valor óptimo concreto, pero si lo hace, este se encuentra en uno de los vértices.

Con la evaluación de la función objetivo de los vértices de la región factible vamos a poder encontrar el valor óptimo (máximo o mínimo).

Tipos de soluciones

Factibles: si existe el conjunto de...