programación lineal

Programación lineal bidimensional

Puntos en el plano

El plano, por ejemplo, la pantalla del ordenador o la hoja de papel sobre la que escribimos, lo consideramos formado por puntos.
Los puntos en el plano no los definimos, los representamos y los nombramos con las letras mayúsculas del alfabeto y los localizamos en el plano utilizando un sistema de referencia .

Un sistema de referenciason dos rectas perpendiculares entre si, que llamamos ejes, que se cortan en un punto que denominamos origen. Habitualmente uno de los ejes es una recta horizontal y el otro una recta vertical. Al eje horizontal lo denominamos eje de abcisas y al vertical eje de ordenadas.

Sobre cada eje se establece una unidad para medir, no tiene que ser la misma, que establece una correspondencia entre cadapunto del eje y un número real y entre cada número real y cada punto del eje.

Ejemplo : Un sistema de referencia y localización de un punto en el plano.


Un punto del plano queda determinado por su coordenada x y por su coordenada y. En el caso de la figura anterior, las coordenada del punto A son : coordenada x=7, coordenada y= 5 y escribimos A(7, 5).

Vectores en el plano

Llamamosvector al par ordenado de puntos AB . Es idéntico al segmento rectilineo orientado, o sea, recorrido desde A hasta B. Al primer punto lo llamamos origen; al segundo, extremo. Para distinguirlos, en el dibujo, se pone una flecha. Entre los vectores se cuentan los pares de puntos idénticos AA, que son los vectores nulos.
Realmente lo que nos interesa de estos elementos son su magnitud (módulo),dirección y sentido. De forma que todos los vectores que tengan la misma magnitud, dirección y sentido, los agrupamos en una clase, que origina un nuevo objeto, al que llamamos vector libre y que podemos representar por cualquiera de sus elementos, cualquiera de ellos representa a la clase.

A los vectores libres los representamos por letras minúsculas del alfabeto, en ocasiones coronadas por unaflecha. Dado un sistema de referencia los vectores libres quedan determinados por un par de números reales, llamados sus componentes.


Observar en la figura como el vector v tiene las mismas componentes, independientemente de que en cada uno el punto origen y el punto extremo, son distintos. En adelante cuando nos refiramos a un vector, nos referimos a un vector libre. Como se puede observaren la figura, un vector queda determinado dando su origen y su extremo o dando sus componentes, mediante la siguiente fórmula:


Observación :

No hay que confundir un punto con un vector, ambos se determinan por un par de números reales, pero conceptualmente son muy diferentes.
Rectas en el plano.

Una recta en el plano queda determinada por dos puntos o por un punto y una dirección(vector).
Como ejemplo, vamos a determinar, en la figura siguiente, la recta dada por el punto A(2, 3) y el vector v (-1, 2).

Las coordenadas P(x, y) de los puntos que pertenecen a la recta se obtienen sumando al vector OA, el vector v multiplicado por un número real.

Puede ser motivo de confusión, que las coordenadas del punto P(x, y) coinciden con las componenetes del vector OP. Estacircustancia permite utilizar métodos vectoriales o métodos paramétricos para obtener las coordenadas de los puntos P(x, y) que pertenecen a la recta.


Observación: El vector de componenets (-b, a) es el vector que determina la dirección de la recta y se llama vector director. Todas las rectas con un mismo vector director son paralelas.

Ejemplo: Sea la recta de ecuación:

x - 2y = 5Para dibujarla en un sistema de referencia , sólo tenemos que determinar dos puntos o el vector director y un punto. El vector director es (2, 1) y para determinar puntos que pertenezcan a la recta, despejamos una de las variables en función de la otra, por ejemplo, la x en función de la y.

x = 5 + 2y

Y dando valores a y, obtenemos valores para x.


Semiplano: Una recta divide al...