Programación Lineal


INTRODUCCIÓN:

Hasta el momento, las clases se han orientado a diseñar o resolver problemas de programación lineal, que modelaban situaciones donde el objetivo y las restricciones son lineales en las variables de decisión. Aunque los problemas de programación lineal son muy comunes y cubren un amplio rango de aplicaciones, en la vida real uno se tiene que enfrentar con cierta frecuencia aotro tipo de problemas que no son lineales. Cuando el conjunto de restricciones, la función objetivo, o ambos, son no lineales, se dice que se trata de un problema de programación no lineal (PNL).
Los problemas de optimización no lineal son más difíciles de resolver que los lineales. Estas dificultades aparecen incluso en el caso más simple como el de optimizar una función de una variable en R sinrestricciones.
En este trabajo se presenta un caso aplicativo de PNL.



PROGRAMACIÓN NO LINEAL
DEFINICIÓN:

Es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una función objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales.

Eneste tema vamos a considerar la optimización de problemas que no cumplen las condiciones de linealidad, bien en la función objetivo, bien en las restricciones. En general, se puede expresar un problema de Programación No Lineal (PNL) de la manera siguiente: encontrar los valores de las variables (x1, x2,…, xn) que:



CARÁCTERÍSTICAS:

Los problemas no lineales se caracterizan por tenerrelaciones no lineales; es decir, no existe una relación directa y proporcional entre las variables que intervienen. Los problemas de programación no lineal, también son llamados curvilíneos, ya que el área que delimita las soluciones factibles en un gráfico se presenta en forma de curva.
La función objetivo en la programación no lineal, puede ser cóncavo o convexo. Es cóncavo cuando se trata demaximizar utilidades, contribuciones, etc. Es convexo cuando trata de minimizar recursos, costos, etc.
Los problemas que contienen restricciones lineales, se resuelven de una forma más sencilla que los problemas con restricciones no lineales.


CONCEPTO DE UNA FUNCION

Una función relaciona cada elemento de un conjunto
con un elemento exactamente de otro conjunto
(puede ser el mismoconjunto).
Una función es como una máquina: tiene una entrada y una salida. Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra.


¿QUÉ ES LA SOLUCIÓN FACTIBLE?

El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.




¿QUÉS ES LA SOLUCIÓNÓPTIMA?

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso).

PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL

1. Entender el problema a fondo.
2. Describir el objetivo.
3. Describir cada restricción.
4. Definir las variables de decisión.
5.Escribir el objetivo en función de las variables de decisión.
6. Escribir las restricciones en función de las variables de decisión.
7. Agregar las restricciones de no negatividad.

FORMAS DE DAR SOLUCION A UN PROBLEMA DE PNL.

Se puede resolver según sea el caso, de dos maneras:

MEDIANTE EL MÉTODO GRÁFICO: Cuando un problema de programación no lineal tiene solo una o dos variables, se puederepresentar gráficamente. La representación gráfica del modelo proporciona su solución.

FUNCIONES CONCAVAS Y CONVEXAS:
Las funciones cóncavas y convexas representan un papel fundamental en la Teoría de la Optimización ya que pueden garantizarnos la globalidad de los óptimos locales. Por ello vamos a iniciar este apartado introduciendo el concepto de función cóncava y convexa para luego más...