programación lineal

Tema 6
Optimización
1. Aproximar el mínimo de la función f (x, y) = 2x2 + y 2 . Utilizar el punto (1,1) como punto
inicial.
a) Utilizar el método del gradiente. Realizar dos iteraciones.
(sol: (x1 , y1 ) = ( 1/9, 4/9) , (x2 , y2 ) = (2/27, 2/27))
b) Utilizar el método de Newton. Realizar una iteración.
(sol: (x1 , y1 ) = (0, 0))
2. Usando el método del gradiente, aproximar el mínimo de lafunción f (x, y) = ln (1 + 2x2 + y 2 ) .
Utilizar el punto (-1,1) como punto inicial. Realizar dos iteraciones.
(sol: (x1 , y1 ) = (1/9, 4/9) , (x2 , y2 ) = ( 2/27, 2/27))
2

2

3. Aproximar el mínimo de la función f (x, y) = e1+2x +y . Utilizar el punto (1,1) como punto
inicial utilizando el método de Newton. Realizar dos iteraciones.
(sol: (x1 , y1 ) = (6/7, 6/7) , (x2 , y2 ) =(1296/1855, 1296/1855) = (0,698652, 0,698652)
4. Maximizar la función f (x, y) = 2x + 2y con las restricciones
2x + y  14
x + 3y  17
x, y
0
(sol: M ax = 18, x = 5, y = 4)
5. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000
plazas de dos tipos: T (turista) y P (primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de
tipo T es de 30 euros, mientras que laganancia del tipo P es de 40 euros. El número de
plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P , 1000. Calcular cuántas tienen que
ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas.
(sol: Benef icio = 160000, T = 4000, P = 1000)

6. Una empresa tiene 2 plantas de producción, P1 y P2 , de cierto artículo que vende en 3
ciudades C1 , C2 y C3 . En P1 produce 5000 unidades y enP2 7000 unidades. De estas 12000
unidades las vende así: 3500 en C1 , 4000 en C2 y 4500 en C3 . Los costes de tranporte, en
euros, por unidad de producto, desde las plantas de producción a las ciudades son:
Envíos
Desde P1
Desde P2

Hasta C1
3
2.25

Hasta C2
2.5
3.75

Hasta C3
3.5
4

Determinar el número de artículos que debe enviar la empresa desde cada planta a cada
ciudadpara que los costes de transporte sean mínimos.
(sol: Coste = 35375)
7. Una fábrica de muebles fabrica dos tipos de sillones, S1 y S2 . La fábrica cuenta con dos
secciones: carpintería y tapicería. Hacer un sillón de tipo S1 requiere 1 hora de carpintería y
2 de tapicería, mientras que uno de tipo S2 requiere 3 horas de carpintería y 1 de tapicería.
El personal de tapicería trabaja un total de80 horas y el de carpintería 90. Las ganancias
por las ventas de S1 y S2 , por unidad, son, respectivamente 50 y 30 euros. Calcular cuántos
sillones de cada tipo hay que hacer para maximizar ganancias.
(sol: Ganancias = 2100, S1 = 30, S2 = 20)

Solución)gráfica)obtenida)con)la)herramienta)PHPSimplex)de))http://www.phpsimplex.com)

!

Ejercicio!4!
MAXIMIZAR: 2 X + 2 Y
2 X + Y ≤ 14
X +3 Y ≤ 17
X, Y ≥ 0

)
)
)
Punto Coordenada X

Coordenada Y

Valor

O

0

0

0

A

0

14

28

B

7

0

14

C

5

4

18

D

0

E

17

5.6666666666667 11.333333333333
0

)
)
En)color)verde)los)puntos)en)los)que)se)encuentra)la)solución.)
En)color)rojo)los)puntos)que)no)pertenecen)a)la)región)factible.)
)
)

!

!

34

Ejercicio!5!MAXIMIZAR: 30 X + 40 Y
X + Y ≤ 5000
X ≤ 4500
Y ≤ 1000
X, Y ≥ 0

Punto Coordenada X Coordenada Y Valor F
O

0

0

0

A

0

5000

200000

B

5000

0

150000

C

4500

500

155000

D

4000

1000

160000

E

4500

0

135000

F

4500

1000

175000

G

0

1000

40000

)
)En)color)verde)los)puntos)en)los)que)se)encuentra)la)solución.)
En)color)rojo)los)puntos)que)no)pertenecen)a)la)región)factible.)

!

!

Ejercicio!6!
!
!

Costes&por&unidad&

Hasta%C1%

Hasta%C2%

Hasta%C3%

Desde%P1%
Desde%P2%

3%
2.25%

2.5%
3.75%

3.5%
4%

Unidades&

Hasta%C1%

Hasta%C2%

Hasta%C3%

∑%

Desde%P1%
Desde%P2%
∑%

X%
35006X%
3500%

Y%
40006Y%
4000%

50006X6Y%
X+Y6500%
4500%

5000%...