Progresiones Aritemticas Y Geometricas

Progresiones
Serie es una sucesión de términos formados de acuerdo con una ley.
Así, 1,3,5,7…es una serie cuya ley es que cada término se obtiene sumando 2 al término anterior: 1,2,4,8…es una seriecuya ley es que cada término se obtiene multiplicando por 2 el término anterior.
Las series que se estudian en el algebra elemental son las progresiones, estas progresiones se clasifican enprogresiones aritméticas y geométricas.
Progresiones aritméticas
Es toda serie en la cual cada término después del primero se obtiene sumándole al término anterior una cantidad constante llamada razón odiferencia.
Notación
El signo de progresión aritmética es ÷ y entre cada término y el siguiente se escribe un punto.
Así, ÷ 1. 3. 5. 7… es una progresión aritmética creciente cuya razón es 2 porque1+2=3, 3+2=5, 5+2=7, etc.
÷ 8.4.0-4…es una progresión aritmética decreciente cuya razón es -4 porque 8+(-4)=4, 4+(-4)=0, 0+(-4)=-4, etc.
En toda progresión aritmética la razón se halla restándolea un término cualquiera el termino anterior.
Así, en ÷ 12. 34. 1…la razón es 34 - 12 = 14.
En ÷ 2. 135. 115…la razón es 135 - 2 = 85 - 2 = - 25
Deducción de la fórmula del término enésimo
Sea laprogresión ÷ a. b. c. d. e……u, en la que u es el término enésimo y cuya razón es r.
b = a + r
c = b + r = (a + r) + r = a + 2r
d = c + r = (a + 2r) + r = a + 3r
e = d + r = (a + 3r) + r = a + 4r…En toda progresión aritmética, cada término es igual al anterior más la razón; luego, tendremos:


Figura 1

En la figura 1 podemos observar que cada término es igual al primer término dela progresión a más tantas veces la razón como términos le preceden; luego, como esta ley se cumple para todos los términos, tendremos que u será igual al primer término a más tantas veces la razóncomo términos le preceden, y como u es el término enésimo, le preceden n – 1 términos; luego:
u = a + (n – 1)r
Ejemplos:
(1) Hallar el 15° término de ÷ 4.7.10…
Aquí a = 4, n = 15, r = 7 – 4 = 3,...