Progresiones Geometricas

Progresiones geométricas (P.G)

Sucesión: es un conjunto de términos uno de tras de otro, que están en un cierto orden lógico.
Progresión Geométrica: es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón de la progresión
Razón(r) de la P.G: Se obtiene dividendo un número de la sucesión por su antecesor (an /an-1)
Ej.: 3, 6, 12, 24,48,… donde a1 es 3, a2 es 6 y así sucesivamente.
Razón(r): a3/a2 = 12/6 = 2
nótese que también podríamos haber sacado la razón con cualquier otro par de números
Tipos de progresiones geométricas
1. Progresión creciente: son aquellas que el valor de su razón es mayor que uno, por lo que cada término es mayor que el anterior.
Ej. 2, 4, 8, 16,…. r: 2

2. Progresióndecreciente: son aquellas que el valor de su razón esta comprendido entre 0 y 1, por lo que cada término va hacer menos que el anterior.
Ej. 3, 3/2, 3/4, 3/8,… r: ½

3. Progresión constante: son aquellas que el valor de su razón es igual a 1, por lo que todos sus términos son iguales.
Ej. 5, 5, 5, 5… r: 1

4.Progresión alternada: son aquellas que el valor de su razón es menor a 0 por lo que sus términos van en forma alternada (+,-)
Ej.: 2, (-6), 18, (-54),… r: (-3)

Ejercicios:
Unir con una línea la progresión (a, b, c) con su respectiva razón y tipo de progresión (1, 2, 3)

a) 5, 25, 125, 625… 1) r: (-4) y es una progresión alternada
b) 4, 1/4, 1/16, 1/128… 2)r: 5 y es una progresión creciente
c) 3, (-12), 48, (-192)… 3) r: 1/8 y es una progresión decreciente

Término General

Sabiendo que una Progresión geométrica es una sucesión de términos donde el termino siguiente se determina multiplicándolo por una razón que es constante, podemos decir lo siguiente:
La siguiente P.G. a1, a2, a3, a4, a5 y a6 la podemos expresar de lasiguiente forma:
a1 = a1 a2 = a1 x r a3 = a2 x r
a4 = a3 x r a5 = a4 x r a6 = a5 x r
Mediante vamos construyendo nuestra progresión nos según su propia definición, nos damos cuenta de que se puede ir formando de otra forma:
a1 = a1
a2 = a1 x r
a3 = a2 x r = a1 x r x r = a1 x r2
a4 = a3 x r = a1 x r2 x r = a1 x r3
a5 = a4 x r = a1 x r3 x r = a1 x r4
a6 = a5 x r = a1 x r4 x r = a1 xr5
De esta forma, podemos observar que existe una relación entre el lugar que ocupa el termino de la sucesión a la cual llamamos “n” con el exponente de la razón “r”. En consecuencia, logramos obtener una expresión general en la cual sabiendo el lugar que ocupa el termino y el primer elemento de la progresión, obtenemos el término que buscamos.
Por lo tanto:
an = a1x r(n-1)

Interpolaciónde términos o medios geométricos

Consiste en construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.
Para ello, se necesita:
* La cantidad de términos (n), que será la cantidad de términos a interpolar aumentado en dos (esto por el hecho, de que los extremos dados también forman parte del numero total de términos)
* La razón (r)
* Los polos o extremosgeométricos:
* el primer termino (a1)
* el último termino (an).
Por ejemplo:
Interpolar 3 medios geométricos en la siguiente progresión geométrica, si el primer término es 3 y el último termino es 48.
a1,…,…,…, an = a1, a2, a3, a4, a5 = a1, a1·r, a1·r2, a1·r3, a1·r4 (*)
n= k+2 = 3+2 = 5
a1=3
a5=48

Para calcular la razón, se despeja directamente de la fórmula del término general (on-ésimo) de la progresión geométrica.
an= a·rn-1
a5=a1·r5-1
48=3·r4 / ÷3
r4=16 / ∜
r=±2

Si la raíz es de índice par, entonces el valor de la razón es uno positivo y otro negativo (como el caso anterior). Por lo tanto se obtienen además dos progresiones geométricas. Y para construir nuestras progresiones reemplazamos “r” y a1 en (*), quedando como sigue:
r = 2 3, 6, 12, 24, 48
r...