Progresiones

Tema 4. Progresiones Aritméticas y geométricas
Un caso particular de las sucesiones, muy estudiadas por sus múltiples aplicaciones en distintos campos, son las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas.

Progresión aritmética es una sucesión en la que cada término (excepto el primero) se obtiene sumando al anterior una cantidad fija llamada diferencia.

Ejemplos:Ejercicios:
1. Escribir una P. A. de diferencia 3; otras con diferencias d = – 2, d = – 3/2, d = x.

2. Calcular el valor de “a” para que los números 4, 9, a + 5 estén en progresión aritmética.
Sol: a = 9
3. Idem. los números – 2, a + 7, 18. Sol: a = 1
4. Idem. X – 3, 5x, 1 – x. Sol: x = – 0,2

Término general:
Fíjate cómo se forman los términos de una P. A.Ejemplos:
Calcular el T.G. de la sucesión .
La sucesión es una Progresión aritmética de diferencia 2 ya que 5 – 3 = 7 – 5 = 9 – 7 = 2.
Su término general será
Por lo tanto,
También podíamos haber hallado directamente sin hallar el término general:

Ejercicios:
5. ¿Cuál es el T.G. de la progresión 21, 17, 13, 9, . . . ? Sol: an = – 4n + 25
6. ¿Es una P.A. la sucesión ?. En casoafirmativo, obtener .
Sol: Es una P.A. con d = -1/6 an = (-1/6) n + 5/3 a18 = -4/3 a25 = -5/2
7. ¿Hay algún término de la sucesión anterior que valga 3? ¿Qué lugar ocupa?
Sol: No (sería n = -8, que no es natural)
8. Hallar el noveno término de la progresión aritmética : (7, 10, 13,..............). Sol: a9 = 31
9. Calcular el 21° término de la P.A. (-3/5,-14/15,...............). Sol: a21 = -109/15
10. Determinar el término general de la progresión aritmética : (6, 9,..........). Sol: an = 3n+3
11. Hallar el 39° término de la P.A. (-3, -5/4,..............). Sol: a39 = 127/2
12. Encontrar el término general de la P.A. (x - 1, x,...........). Sol: an = n+x-2
13. El 15° término de una P.A. es 20 y la diferencia es 2. Hallar el primer término y el décimo.
Sol: a1= -8 a10 = 10
14. El vigésimo término de una P.A. de diferencia ½ es 12. Hallar a1 y a15
Sol: a1 = 5/2 a15= 19/2
15. Calcular la diferencia de una P.A. (3,........., 8,.....) donde 8 es el sexto término. Sol: d = 1
16. Determinar el 1er término de la P.A. en que el 15° término es 44 y la diferencia es 3. Sol: a1 = 2
17. En una P.A. a1 = 5 y d = 9. Determinar el ordendel término igual a 239. Sol: n = 27
18. Cuántos términos tiene la P.A. (4, 6,............., 30). Sol: n = 14
19. El tercer término de una P. A. es 3 y el 15º, 63. Calcular la diferencia. Sol: d = 5
20. El 5º término de una P.A. es 7 y el 7º término es 25/3. Hallar la diferencia. Sol: d = 2/3

Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética:

La suma de los términos deuna P.A. comprendidos entre a1 y an es:



Ejemplo:
Calcular la suma de los 20 primeros términos de la sucesión 2, 7, 12, 17,
Se trata de una progresión aritmética de diferencia 5 ya que 7 – 2 = 12 – 7 = .. = 5
Para hallar la suma necesitamos a1 (lo tenemos) y a20 (que hay que calcular)
a20 = a1 + 19 · d = 2 + 19 · 5 = 97.


Ejercicios:
21. Hallar la suma de los veinte primerosmúltiplos de 3. Sol: 630
22. Hallar la suma de los 100 primeros números pares. Sol: 10.100
23. Hallar la suma de los 100 primeros números impares mayores que 7. Sol: 10.600
24. Hallar la suma de los 8 primeros términos de la P.A. (15, 19, 23,...........). Sol: 232
25. Hallar la suma de los doce primeros términos de la P. A. : (0,2; 0,7; 1,2;...........) Sol: 35,4
26. ¿Cuántos múltiplosde 5 existen entre el 18 y el 193?. ¿Cuánto suman? Sol: 35 términos, que suman 3.675
27. Hallar la suma de todos los múltiplos de 4 comprendidos entre 114 y 373 Sol: 15.860
28. Hallar la suma de los impares del 51 al 813. Sol: 165.024
29. La suma de 3 números que están en P.A. es 21 y el producto de los mismos es 231. Calcular esos números. Sol: 3, 7 y 11
30. Construir el primer metro...