Propiedades de los números reales

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PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

La siguiente es una lista con seis propiedades básicas, las cuales bastan para caracterizar completamente las propiedades algebraicas de campo de los númerosreales. Esto es, de aquí se pueden deducir las demás propiedades.
Los números reales son un conjunto R con dos operaciones binarias + y * el cual satisface los siguientes axiomas.

Axioma 1 CerraduraSi a y b están en R entonces a+b y a*b son números determinados en forma única que están también en R.

Axioma 2 Propiedad Conmutativa (Suma y Multiplicación)
Si a y b están en R entonces a+b =b+a y a*b = b*a.

Axioma 3 Propiedad Asociativa. (Suma y Multiplicación)
Si a, b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y a*(b*c) = (a*b)*c

Axioma 4 Propiedad Distributiva
Si a, b y cestán en R entonces a*(b+c) = ab+ac

Axioma 5 Existencia de Elementos neutros
R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a*1 = a para a que pertenece a los reales.

Axioma 6Elementos inversos
Si a está en R entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a está en R y a es diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a*(1/a) = 1.
[+ El inversomultiplicativo de a también se representa por {$ a^{−1} $}
El primer axioma garantiza que la suma y la multiplicación son operaciones binarias en los números reales. Los axiomas 2 al 4 indican la forma demanipular algebraicamente las dos operaciones. El axioma 5 establece la existencia de dos elementos distintos 0 y 1. Y el último axioma indica la existencia de los elementos inverso por lo que losnúmeros reales forman un campo, nótese que en la segunda parte de este último axioma se supone diferente de cero el número a.
También es fácil ver que combinando el axioma 2 con los axiomas 5 y 6 tenemos:0 + a = 0
1.a = a
(-a) + a = 0
(1/a)*a = 1

Como es costumbre en álgebra, el producto a*b se representará simplemente por ab, también se puede utilizar un punto a.b
Es importante...
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