Propiedades del estimador sigma2

Propiedades del estimador σ̑2
σ̑2 = (ȗȊ̑ ȗ)/T = (ȗȊ̑ ȗ)/(n – k – 1) = SCE/(n – k – 1) (ȗȊ̑ ȗ)/T = (ȗI[I – Px] ȗ)/T donde:
* I es la matriz identidad
* Px esuna matriz simétrica e idempotente (osea PIP = P)
* ȗ es una matriz del estimador de los errores “e”
* T es el número de observaciones del experimento
* K es el número de variablesexplicativas
* SCE es la suma del cuadrado de los errores (variable estadística) que se estima fácilmente multiplicando la matriz del estimador por su traspuesta.
Como sabemos que u tiene unadistribución normal, si la estandarizamos a una dist. Normal con media 0 y varianza 1 N(0,1) y luego la elevamos al cuadrado, por propiedades estadísticas, la distribución que sigue es unachi-cuadrado, con g grados de libertad: χ2g
El valor de g lo explicaremos a continuación.
ȗ = Y - Y̑ donde Y = Xβ + u; Y̑ = Xβ̑
Volviendo a σ̑2, podemos realizar una transformación lineal del mismomultiplicando y dividiendo en ambos lados por las mismas constantes, por lo tanto:
(T/ σ2) σ̑2 = T(ȗI[I – Px] ȗ)/T σ2 eliminando las T queda: (T/ σ2) σ̑2 = (ȗI[I – Px] ȗ)/σ2
Quesigue una distribución chi-cuadrado con g grados de libertad: χ2g. El número g, por definición, es igual a la traza de la suma de las matrices (A + B): tr (A + B) = tr (A) + tr (B).
En este caso, lasmatrices que utilizamos son [IT – Px] donde por la propiedad anterior se cumple que: tr [IT – Px] = tr(IT) – tr(Px) en el caso de IT que es la matriz identidad, la traza es ladiagonal de unos, T veces.
tr(IT) – tr(Px) = T – tr(Px) = T – tr (X(XIX)-1XI) = T – tr(Ik) = T – k
Sabemos que tr (X(XIX)-1XI) = tr((XIX)-1XIX) = tr (Ik) = k obtenemos esto por propiedades de Px ya quesabemos que una matriz al multiplicarla por su inversa, obtenemos la matriz identidad. En este caso, la traza de la misma significa una diagonal de unos, k veces. El tamaño de la matriz depende del...