Propiedades de los estimadores

Propiedades de los estimadores [editar]
Sesgo [editar]
Se denomina sesgo de un estimador a la diferencia entre la esperanza (o valor esperado) del estimador y el verdadero valor del parámetro aestimar. Es deseable que un estimador sea insesgado o centrado, es decir, que su sesgo sea nulo por ser su esperanza igual al parámetro que se desea estimar.
Por ejemplo, si se desea estimar la media deuna población, la media aritmética de la muestra es un estimador insesgado de la misma, ya que su esperanza (valor esperado) es igual a la media de la población.
En efecto, si una muestraX=(X1,X2,...,Xn)t procede de una población de media μ, quiere decir que:
E[Xi] = μ para cualquier i=1...n
La media aritmética o media muestral,

[pic], con lo que, al aplicar las propiedades de linealidadde la esperanza matemática se tiene que:
[pic]
[pic]
[pic]
Eficiencia [editar]
Diremos que un estimador es más eficiente o más preciso que otro estimador, si la varianza del primero es menor quela del segundo. Por ejemplo, si [pic]y [pic]son ambos estimadores de θ y
[pic]
,
diremos que [pic]es más eficiente que [pic]. Un estimador es más eficiente (más preciso), por tanto, cuanto menor essu varianza.
La eficiencia de los estimadores está limitada por las características de la distribución de probabilidad de la muestra de la que proceden. El teorema de Cramér-Rao determina que lavarianza de un estimador insesgado [pic]de un parámetro θ es, como mínimo,
[pic]
donde f(X;θ) es la función de densidad de probabilidad de la muestra [pic]en función del parámetro θ, (denominada funciónde verosimilitud). Si un estimador alcanza esta cota mínima, entonces se dice que el estimador es de mínima varianza.
Consistencia [editar]
Si no es posible emplear estimadores de mínima varianza,el requisito mínimo deseable para un estimador es que a medida que el tamaño de la muestra crece, el valor del estimador tienda a ser el valor del parámetro, propiedad que se denomina consistencia....