Propiedades De Los Estimadores

Econometría I. DADE

Notas de Clase

PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES MCO
Profesor Rafael de Arce (rafael.dearce@uam.es)
INTRODUCCIÓN
Una vez lograda una expresión matricial para la estimación de los parámetros del
modelo, es pertinente comprobar las propiedades estadísticas de los mismos. En este
sentido, los parámetros MCO y Máximo-verosímiles se calcularán así1:
ˆ
β = [ X ' X ]−1 X 'Y

donde se ha utilizado la expresión del modelo en forma matricial:
Y = X β +U

nx1

nxk kx1

nx1

Se demuestra, a continuación, que estos estimadores son estimadores lineales,
insesgados, óptimos y consistentes (ELIO2+Consistentes). Es decir, cumplen las
mejores condiciones que estadísticamente se puede pedir a un valor estimado.
En primer lugar, contar con un estimador insesgadonos asegura que el valor esperado
de nuestro cálculo coincide con el valor real del parámetro. Éste requisito es
fundamental a la hora de realizar una estimación, siendo la condición sinequanon para
seguir realizando algunas comprobaciones estadísticas. De hecho, la segunda
demostración que se realiza en este documento sirve para comprobar que los parámetros
estimados también serán óptimos;es decir, serán los que cuenten con la varianza más
pequeña de entre todos los insesgados3.
En tercer lugar, se demostrará que los MCO también son consistentes. Esto quiere decir
que nuestra forma de calcular los parámetros para la estimación daría el resultado
exacto de cálculo de los parámetros reales si en vez de utilizar una muestra usáramos el
total de los datos, sin error alguno.Dicho de otro modo, cuando contamos con el total
del universo para realizar la estimación la varianza de los parámetros calculados es nula,
ya que coinciden exactamente con los reales.
Previamente a realizar estas tres demostraciones, se hará una derivación matemática de
la fórmula de cálculo original de los MCO para comprobar que, dicho cálculo, produce
unos estimadores que son combinaciónlineal de las perturbaciones aleatorias. Esta
comprobación tendrá importantes consecuencias para poder determinar a posteriori el
intervalo de confianza de los parámetros. Bajo el supuesto habitual de normalidad de las
1

La expresión de cálculo es la misma para ambos cuando la función de densidad de las perturbaciones
aleatorias se distribuye como una normal.
2
3

BLUE en inglés y, aveces, MELI en algunas traducciones.

Quizá se puedan encontrar formas de estimar los parámetros con un menor intervalo de variación, pero
si estos no son insesgados conculcan lo que hemos llamado condición sinequanon para un valor estimado.
Podemos ser muy precisos en una estimación, pero si su valor medio o esperanza no coincide con el valor
real, la utilidad de la estimación quedará enentredicho.

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perturbaciones aleatorias, demostrar que los parámetros son una combinación lineal de
éstas lleva inmediatamente a conocer en qué forma se distribuyen nuestros coeficientes
estimados. Sabiendo cuál es su función de densidad, podremos calcular con facilidad en
qué rango o intervalo se mueven éstos e, incluso, podremos diseñar algunos contrastesestadísticos para averiguar el grado de significatividad de estos (en qué medida
podemos decir que los parámetros son distintos de cero o, dicho de otra forma, en qué
grado las variables a las que multiplican dichos parámetros son relevantes para la
explicación de la variable endógena del modelo).
LINEALIDAD
Para comprobar que los parámetros estimados son una combinación lineal de lasperturbaciones aleatorias del modelo, basta con sustituir “Y” en la expresión de cálculo
de los mismos por su expresión completa (entre “llaves” en la expresión de más abajo):
ˆ
β = [ X ' X ]−1 X ' Y = {Y = Xβ + u

}=
[X ' X ]−1 X ' Xβ + [X ' X ]−1 X ' u = β + [X ' X ]−1 X ' u =
β + WU
Los estimadores MCO son una combinación lineal de las perturbaciones aleatorias.
Como ya se ha indicado...