Propiedades del limite

Propiedades del límite finito


1.


Si





2. Si entonces la función f está acotada en un entorno reducido de x = a


Por propiedad del módulo:
Con lo cual



SeaEntonces f está acotada en un entorno reducido de x = a


3. (Conservación del signo)

Puede demostrarse esta propiedad dividiéndola en dos partes:

a)


Si l < h entonces h - l > 0 (h - les positivo)
Como > 0 es arbitrario, consideremos :
Por propiedad del módulo:
Entonces

f(x) - l < h - l
f(x) < h

En particular, si h = 0


b)

La demostración es similar al casoa)

En particular, si m = 0 será l > 0; por lo tanto existe E´(a; ) tal que


Considerando lo demostrado en a) y b) se puede concluir:
Si y entonces existe E´(a; ) donde los valores de ftienen el mismo signo que l.

Aclaración: Nada puede asegurarse si l = 0.


4. Dadas las funciones f y h tales que y siendo entonces existe un entorno reducido de x = a en el cual

Como R es unconjunto denso, si se sabe que existe algún número real k tal que , es decir,
Si por la propiedad antes demostrada
Si por la propiedad antes demostrada

Entonces enf(x) < h(x)


5. Unicidad del límite: Si una función tiene límite finito en x = a entonces ese límite es único

Supongamos que l no es único: y
Si de acuerdo con la propiedad anterior, lo cuales absurdo.
Y si según la misma propiedad, que conduce también a un absurdo.
El absurdo surge de suponer ; por lo tanto : el límite es único.


6. Propiedad de intercalación: Dadas lasfunciones f, g y h tales que y se cumple que y además , entonces

Aplicando la definición de límite finito se obtiene en un entorno reducido de x = a que:



Considerando además, por hipótesis, quese obtiene:







7. Propiedad Fundamental del Límite:




que significa


Es decir, es un infinitésimo.

Por notación de infinitésimos, esto puede escribirse
con si...