propiedades limites

Tema 1
Funciones de Varias Variables.
L´
ımites y Continuidad
1.1

Introducci´n al espacio IRn .
o

El objetivo de este tema es definir el concepto de l´
ımite de una funci´n de varias variables.
o
Intuitivamente, se podr´ hacer as´ “Sea f : IRn −→ IRm ,a ∈ IRn , b ∈ IRm decimos que
ıa
ı:
lim f (x) = b cuando basta tomar valores de x suficientemente pr´ximos al punto a
o
x→a
paraconseguir que f (x) est´ tan cerca de b como queramos”.
e
Necesitamos definir, pues, el concepto de proximidad en IRn .
Definici´n 1.1 Definimos el conjunto IRn como el conjunto de las n-uplas de n´meros
o
u
reales, es decir
IRn ≡ {(x1 , x2 , · · · , xn ) / xi ∈ IR}
IR se representa geom´tricamente como los puntos de una recta
e

0

1

1

TEMA 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. L´IMITES Y CONTINUIDAD

2

IR2 se representa como los puntos de un plano.
Y
(a,b)
-b T - - - - - -•

a

0

E

X

E

Y

IR3 como los puntos del espacio.
Z
T
c · - - - - ··
··
··
···
(a,b,c)
···
·
·

- - - - ·
•

·· b
···
- - - - ···
 
0

 
a

 
©
X 

A partir de IR3 es imposible representarlo geom´tricamente.
e
A cada punto de IRn se le asocia elvector que tiene su origen en el origen de
coordenadas y su extremo en dicho punto, llamado vector de posici´n.
o
A la base formada por los vectores {(1, 0, · · · , 0), (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , (0, 0, · · · , 0, 1)}
se le llama base can´nica.
o
Teorema 1.1 IRn con las operaciones suma de vectores y producto de vectores por
escalares, tiene estructura de espacio vectorial. Dicho de otraforma
(IRn , +, ·IR ) es un e.v.

1.1.1

Producto escalar

Definici´n 1.2 Se define el producto escalar de 2 vectores en IRn , a = (a1 , a2 , · · · , an ) y
o
b = (b1 , b2 , · · · , bn ) (respecto de la base can´nica) como
o
n

a·b=

ai · bi
i=1

TEMA 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. L´
IMITES Y CONTINUIDAD

3

Propiedades El producto escalar verifica las siguientes propiedades:•

1 a·a≥0
2 a·a=0 ⇔ a=0

• (α · a) · b = α · (a · b) = a · (α · b)
• a · (b + c) = a · b + a · c
• a·b=b·a

1.1.2

Norma eucl´
ıdea

Es el equivalente al valor absoluto en IR.
Definici´n 1.3 Se define la norma eucl´dea de un vector x ∈ IRn como
o
ı
√
x = + x · x = + x2 + x2 + · · · + x2
1
2
n
Propiedades La norma verifica las siguientes propiedades:
• |x · y| ≤ x · y(Desigualdad de Cauchy-Swartz).

• x+y ≤ x + y
• α · x = |α| · x
• x ≥0,

x =0 ⇔ x=0

Ahora podemos definir la distancia entre dos puntos como la norma de la diferencia
de los vectores que los determinan.
Definici´n 1.4 Dados dos puntos A y B de IRn determinados por los vectores de
o
posici´n a y b , definimos la distancia entre ellos de la siguiente manera
o
d(A, B) = a − b

TEMA 1.FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. L´
IMITES Y CONTINUIDAD

1.2

4

Funciones de varias variables. Geometr´ de las
ıa
funciones con valores reales.

Hasta ahora hemos estudiado, el curso anterior, las funciones reales de una variable real,
es decir, las aplicaciones f : A ⊂ IR −→ B ⊂ IR.
En este cap´
ıtulo estudiaremos funciones f : IRn −→ IRm , que en el caso n = m = 1
coinciden conlas ya mencionadas funciones reales de una variable real.
Definici´n 1.5 LLamamos funci´n vectorial de una variable real a una funci´n
o
o
o
f : IR −→ IRm , m > 1
Definici´n 1.6 Se llama campo escalar a una funci´n f : IRn −→ IR
o
o
Ejemplo La funci´n que a cada punto del espacio le asocia su temperatura es un campo
o
escalar.
Definici´n 1.7 Se llama campo vectorial a una funci´n f : IRn −→IRm , m > 1
o
o
Ejemplo La funci´n que a cada punto del plano le asocia la velocidad del viento en ese
o
punto.
La diferencia entre ambos campos es su conjunto imagen. Si ´ste es num´rico (escalar),
e
e
ser´ un campo escalar; en caso contrario ser´ un campo vectorial.
a
a
Tanto en un caso como en otro y, en general, si el dominio de definici´n de f es un
o
subconjunto A ⊂ IRn , n >...