Propiedades y operaciones de los números reales

Los números reales
* La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. .
* El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en ,   y   es un conjunto totalmente ordenado.
* Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.
* Muchasde las propiedades que hemos visto para los conjuntos   e  son heredadas por .
* Como ya se ha visto,  es denso en  . También  es denso en .
* Podemos considerar  como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.
* A diferencia de lo visto para,  y, el conjunto de los reales no es numerable. (una demostración).

Los números racionales
| Sise necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios, o quebrados),
={... 1/2,  5/3,  8/10,  238476/98745, ...... } |
Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la multiplicación.
* La suma de dos racionales a/b y c/d se define como a/b+c/d=(ad+cb)/bd.
* El producto de dos racionales a/b y c/d se define como ac/bd.
* Dosnúmeros racionales a/b y c/d son iguales si y sólo si ad=bc. 

   (En todo lo anterior, a, b, c y d denotan números enteros)
* Un número racional se dice que está expresado mediante una fracción irreducible si el numerador y el denominador no tienen factores comunes.
* De este modo, el conjunto de los racionales, con las operaciones de suma y producto tiene estructura de cuerpo conmutativo.* En  se pueden resolver todas las ecuaciones lineales, es decir, aquéllas de la forma ax+b=0, con a y b racionales.
* En  se puede definir un orden total compatible con las operaciones suma y producto definidas anteriormente y que extienda el orden existente en  y en . Para ello basta con definirlo como sigue:
* Dados dos números racionales a/b y c/d, donde b y c son enteros positivos(esto siempre puede conseguirse, por ejemplo, si b es negativo basta con multiplicar a y b por -1 para obtener un número racional igual que el dado pero con denominador positivo), se dice que  si y sólo si  respecto del orden existente en el conjunto de los enteros.
* Por tanto  con dicho orden es un conjunto totalmente ordenado.

* Densidad del orden:
Dados dos números racionalesdistintos, , siempre existe otro número racional  tal que .
Para ello, si    , con  b y d positivos, basta con tomar 

Ejercicio: probar que efectivamente  (por ejemplo, entre  3/5 y 2/3 se encuentra 5/8)
Ahora bien, reiterando el proceso de introducir un racional entre cada dos racionales distintos es claro que entre dos racionales distintos existen infinitos racionales distintos,

Por ejemplo,ahora entre 3/5 y 5/8 se encuentra 8/13, entre 3/5 y 8/13 se encuentra 11/18, etc., tenemos asi 3/5 < ...... < 11/18 < 8/13 < 5/8 < 2/3.
por eso se dice que el conjunto de los racionales es un conjunto denso. No tiene sentido hablar del racional siguiente o anterior a uno dado. Esto es algo que no ocurría ni en el conjunto de los naturales ni en el de los enteros.

* Propiedadarquimediana (o de Arquímedes):
Dados dos números racionales  y , siempre existe un n natural tal que .   Esto quiere decir que por pequeño que sea , si consideramos la sucesión de racionales , llegará un momento en que sobre pasaremos a , por muy grande que este sea.
Por ejemplo:
Esta es una propiedad que también poseían los números naturales y los enteros. 

* El cardinal de losracionales:
¿Cuántos números racionales hay? ¿Qué hay más, naturales o racionales?

Puede parecer que la respuesta sería, obviamente hay más racionales, puesto que los naturales son también números racionales, y además hay otros racionales, como 1/2 por ejemplo, que no son naturales, por lo que podemos concluir que el cardinal de los racionales es que el de los naturales.
Pero podemos también...