Propuesta pedagogica

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN DE MAGNITUDES.
“… la ciencia hace uso del conocimiento y del lenguaje matemático para describir los fenómenos que investiga.”
El origen del conocimiento matemático en general, se ubica, fundamentalmente, en la necesidad de resolver problemas reales de distinta naturaleza.
La propuesta que se presenta a continuación esta basada en el libro “elementos del calculo”cuyo objetivo principal es dar a conocer una propuesta educativa, basada en la reflexión, análisis y discusión de situaciones problema para lograr un aprendizaje exitoso, útil y relevante del calculo infinitesimal.
A continuación se analizara una situación en donde es importante determinar el valor máximo o mínimo de una magnitud.
Situación problema: Un objeto de peso w es arrastrado sobre unplano horizontal por medio de una fuerza que actúa a lo largo de la cuerda que ata el objeto.
w

θ
Si la cuerda forma un ángulo θ con el plano, la magnitud de la fuerza es:
F= μwμsenθ+cosθ
donde μ es el coeficiente de fricción.
Demostrar que F es mínimocuando tanθ=μ.

Análisis 1
Dibujemos primero un diagrama de cuerpo libre en donde estén representadas todas las fuerzas que actúan sobre el objeto.
F Fy N
Fx θ Frw
Análisis 2
Construcción de la formula de fuerza.
De acuerdo al sistema de referencia la fuerza F tiene dos componentes rectangulares: FX y Fy.
Fx=Fcosθ
Fy=Fsenθ
Puesto que el objeto no se levanta de la superficie sobre la cual se desliza, la fuerza neta en el eje y es igual a cero, es decir la sumatoria de estas fuerzas verticaleses 0.
N+Fy-w=0
Remplazando Fy
N+Fsenθ-w=0 despejando N tenemos
N=w-Fsenθ
Una vez que la fuerza aplicada sobre un objeto supera en magnitud a la fuerza de rozamiento estático el objeto se mueve. Ya en movimiento el rozamiento cambia de valor y recibe el nombre de fuerza de rozamiento cinético. Esta fuerza es proporcional a la fuerza normal y su constante de proporcionalidad es elcoeficiente de rozamiento cinético μ, entonces:
Fr=μN
Las fuerzas que actúan sobre el eje x
Fx-Fr
Fcosθ-μN Remplazando N
Fcosθ-μ(W-Fsenθ)
F=μwcosθ+μsenθ

Análisis 3
Una forma de encontrar el valor de θ en el que la fuerza es mínima es analizando la grafica de esta función obtenida mediante un recurso computacional.

Análisis 4
Otra forma de identificar la condición que debe cumplir θpara que la fuerza F sea mínima es recurriendo a la derivada o razón de cambio para la caracterización de este valor.
Para construir esta estrategia primero observemos las siguientes graficas que presentan diversas situaciones posibles en cuanto a la ubicación de valores máximo o mínimo de una función en un intervalo [a,b].

Observando las anteriores graficas se puede inducir que el valor mínimo(máximo) para f(x) se obtiene en x=a o en x=b o en algún valor entre a y b donde f’(x)=0.
Para determinar este valor donde F es mínima, derivamos f(x) e igualamos la derivada a cero.
F(x)=μwcosθ+μsenθ
F'(x)=cosθ+μsenθμw'-μwcosθ+μsenθ'cosθ+μsenθ2
F'(x)=-μwμcosθ-senθcosθ+μsenθ2
Se iguala a cero la derivada
-μwμcosθ-senθcosθ+μsenθ2=0
μcosθ-senθ=0
μ=senθcosθ
μ=tanθ
Concluimos entonces quecuando μ=tanθ la fuerza F que actúa a lo largo de la cuerda que ata al objeto es mínima.
En la siguiente situación usaremos la idea del “cambio acumulado de una magnitud”.
Situación problema: Una partícula esta 10 metros del origen, y se mueve por una fuerza fx=4x3-1 newton. Calcular la cantidad de trabajo que se efectúa al moverse desde el punto x=3 hasta el punto x=4.
Análisis 1
El trabajo...