proyectiva

Geometría Proyectiva
La geometría proyectiva se basa en el estudio de las incidencias de puntos y líneas sin tener en cuenta la medida.
Las propiedades proyectivas son invariantes bajo proyección y corte (sección).


Proyección y sección
Una proyección es una colección de líneas convergentes donde cada línea une cada punto con el centro de proyección. Y la colección de puntos, en donde laslíneas de la
proyección son cortadas por un plano, es una sección.

Colineación
Una colineación es una aplicación que conserva la alineación de puntos (puntos que están sobre una misma línea).

Espacio proyectivo. Proposiciones:
o Dos puntos distintos determinan una línea y sólo una línea.
o Tres puntos distintos no colineales, igualmente que una línea y un punto que no está sobre lalínea, determinan uno y sólo un plano.
o Dos líneas coplanares distintas, se intersectan en un único punto.
o Toda línea que no está en un plano dado intersecta al plano en un único punto.
o Dos planos distintos se intersectan en una y sólo una línea.

Punto impropio (o ideal)
Cuando dos rectas son paralelas decimos que se cortan en un punto del infinito conocido como punto impropio.
Elementosdel espacio euclideano: puntos ordinarios, líneas ordinarias y planos ordinarios del espacio ordinario.
Elementos del espacio proyectivo:
o A una línea ordinaria junto con su punto ideal se llama línea extendida.
o Dos puntos ideales determinan una y sólo una línea ideal.
o A un plano ordinario junto a la totalidad de los puntos ideales se llama plano extendido.
o Tres puntos ideales nocolineales determinan un plano ideal.
o Al espacio ordinario junto con el plano ideal se llama espacio extendido.

Principio de dualidad
Principio por el cual a cada proposición se le hace corresponder otra, al intercambiar ciertas palabras claves y otros cambios en notación y lenguaje que son necesarios para que tenga sentido la proposición.
o Para el plano proyectivo: se cambian las palabras“punto” y “línea”.
o Para el espacio proyectivo: se cambian las palabras “punto” y “plano”.

Línea proyectiva
En el plano proyectivo, sea cualquier línea q y un punto O que no está sobre q, por O pasa una línea p que intersecta a q. Si p rotase alrededor de O, entonces cada posición de p determinaría un punto sobre q. Así la línea proyectiva q es trazada por el movimiento contínuo de P. Enconclusión, una línea proyectiva se comporta como si fuera cerrada.

Haces perspectivos en un plano
Por una figura en un espacio proyectivo se entiende toda colección de puntos, líneas y planos del espacio. Por una figura en un plano proyectivo se entiende toda colección de puntos y líneas del plano. Hay dos tipos de figuras en el plano proyectivo:
o Haz de puntos: se llama a la totalidad de puntossobre una de las líneas del plano. Se denota p(A, B, C, D). A los puntos A, B, C, D se los llama elementos y a la línea p se la llama base del haz.
o Haz de líneas: se llama a la totalidad de líneas sobre uno de los puntos del plano. Se denota P(a, b, c, d). A las líneas a, b, c, d se las llama elementos y al punto P se lo llama centro del haz

Perspectividad
Una perspectividad es unacorrespondencia biunívoca entre dos haces puntuales sobre líneas distintas, tal que las líneas que unen puntos correspondientes están sobre el punto P. . El punto P es llamado centro de perspectividad.
Y su dual es una perspectividad entre dos haces de líneas sobre puntos distintos como una correspondencia biunívoca entre los dos haces tales que las correspondientes intersecciones de las líneasestán sobre p. La línea p es llamada eje de perspectividad.

Proyectividad
Una proyectividad es la resultante de una sucesión de perspectividades.
o Una perspectividad entre dos haces de puntos es un caso especial de una proyectividad entre los haces; el recíproco, sin embargo, no es verdadero.

Teorema de Pappus
En el plano proyectivo, sean A1, A2, A3 puntos distintos sobre una línea r...