Proyecto de trabajo de las drogas

6.1 LA PARABÓLA |
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Definiciones 1.-Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la recta dada. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a la distancia a la recta DD.   2.-La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace referencia a la parábola dedirectriz DD y de foco F y se denota por PDD-F.  
Esto es:   PDD-F={P:PFF=PD}={P:PF = 1}                                 PD 
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fig. 6.1.1.Observaciones: 1.-Al trazar por F la perpendicular  a la directriz. Se llamará: la distancia del foco a la directriz.  2.- Sea V el punto medio del segmento  . Como, entonces el punto V pertenece a la parábola. V es llamado VERTICE de la parábola.  Ellugar correspondiente a la parábola es simétrico respecto a la recta . En efecto, si P’ es el simétrico de P respecto a la recta , entonces PP’’ = P’’P’. Por lo tanto, el triángulo PP’’F es congruente al triángulo P’P’’F. De donde P’F = PF y como P’D’ = PD, entonces, lo cual nos muestra que P’ e PDD-F. 
 
  Ecuaciones Analíticas de la ParábolaEn esta sección sólo se considerarán parábolas con elvértice V en el origen de coordenadas y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes x ó y (fig. 6.1.2.)  | |
Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F (fig. 6.1.2 b) entonces, .  
Pero,  y   Luego,   Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad, y desarrollando los binomios, se obtiene: , y simplificando queda finalmente,   (1)  Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano,cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F.   Por hipótesis,  (2)   Se debe probar que    
     
  De esta forma se ha demostrado la parte i del siguiente teorema.  
  TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola)   1.-  La ecuación de la parábola que tiene su foco en F (p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 (fig. 6.1.4) viene dada por: y2=2px (3). Recíprocamente si un puntoP del plano, satisface (3) entonces P x PDD-F   2.-.  La ecuación de la parábola que tiene su foco en F (0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 (fig. 6.1.3.) es: x2 = 2py (4)  3.-. Recíprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces P x PDD-F
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  Observaciones:  1.- En la  fig.  6.1.3. Aparecen  las gráficas de dos parábolas abiertas hacia arriba  (en elcaso de p>0) y hacia abajo (p 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2, 0) y cuya directriz es la recta de ecuación x = -p/2. Además todos sus puntos son simétricos con respecto al eje x, de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, poseen únicamente a la variable y elevada a su potencia par.  
  6.1.2. Traslación de Ejes  En el ejemplo 5 de lasección 5.6., se determinó que la ecuación de la circunferencia con centro en C(4,3) y radio 5 era:   ó   Sin embargo, si se encuentra la ecuación con centro en C(0, 0) y radio 5. Se obtiene.   De lo anterior se concluye que a veces puede cambiar la ecuación sin cambiar la forma de la gráfica (fig. 6.1.5.).  
 
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fig. 6.1.5.Si en el plano cartesiano x - y se eligen nuevos ejescoordenados paralelos a los  ejes x e y, se dice entonces que ha habido una "TRASLACIÓN DE EJES". Al fin de analizar los cambios  que  se presenten en las coordenadas de los puntos del plano al introducir un nuevo sistema de coorde- nadas x’ e y’ paralelo a los ejes x e y, se toma un  punto fijo  o’(h, k) que  se llama: ORIGEN del nuevo sistema.   Sea ahora, un punto P(x, y) del plano, cuyas coordenadasestán referidas al sistema con origen O(O, O) Entonces las coordenadas de P(x’, y’) referidas al sistema x’-y’ vienen dadas por las relaciones:  
 
 
  |   x = x’ + h (1)  
  y = y’ + k (2)     Llamadas: ECUACIONES DE     TRASLACIÓN DE EJES, y que   pueden deducirse fácilmente de la fig.  6.1.6. |
  fig. 6.1.6.Observación:  La traslación de ejes modifica la ecuación de una curva y algunas...