Proyecto

Problema

La fuerza aplicada sobre un elevador (fig. 1) el cual consta de un resorte (k) un amortiguador (b) y una masa (m) con ello queremos calcular el desplazamiento con un cierto resorte yamortiguador.

Resorte
Amortiguador
Masa x(t)

Con esto queremos constatar el desplazamiento (y (t)) que se obtiene de nuestro elevador aplicándole una fuerza de estiramiento (x (t)) teniendo encuenta el resorte, el amortiguador y la masa.
Ecuación de segundo orden: d2y(t)dt2+2ζwndy(t)dt+wn2yt=wn2x(t)

Análisis Matemático

Analizando el sistema nos percatamos que lo podemos demostrar conel siguiente modelo matemático.
md2(yt)dt2=xt-k yt-bd y(t)dt
Despejando x (t) nos queda:
md2(yt)dt2+bd y(t)dt+k yt=xt

Igualando a la ecuación de segundo orden eliminando m de la derivada doble:d2(yt)dt2+bmd y(t)dt+km yt=1mxt

Comparando esta ecuación con la ecuación de segundo orden identificamos que:
wn=km ζ=b2k m
Obtenidos los valores de wn y ζ utilizaremos la ecuaciónoriginal de segundo orden:
d2(yt)dt2+2ζwnd y(t)dt+wn2yt=wn2xt

La respuesta en frecuencia del sistema de segundo orden en la ecuación es:
Despejando:
ytd2dt2+2ζwnddt+w2n=wn2xtd2dt2+2ζwnddt+wn2wn2=xtyt
Invirtiendo
wn2d2dt2+2ζwnddt+wn2=ytxt

Ordenando y teniendo en cuenta
Hs=y(s)x(s) , s2=d2dt2, s=ddt
Hs=wn2s2+2ζwns+wn2
Factorizando el denominador de H (s) se obtiene:

A=s2,B=2ζwns, C=wn2

Utilizando la formula: -b±b2-4ac2a
1a+jw2=e-at U(t)
-2ζwn±2ζwn2-41wn221

-2ζwn±4ζ2wn2-4wn22

-2ζwn±4wn2ζ2-12

-2ζwn±4wn2*ζ2-12

-2ζwn±2wn*ζ2-12

-ζwn±wn*ζ2-1c1=-ζwn+wn*ζ2-1
c2=-ζwn-wn*ζ2-1
Una vez obteniendo la siguiente ecuación:
Hs=wn2s-c1s-c2=A(s-c1)+B(s-c2)
A su vez es igual a:
1s-c1s-c2=A(s-c1)+B(s-c2)
Desarrollamos la suma y obtenemos:As-c2+B(s-c1)
Desarrollamos:
As-Ac2+Bs-Bc1
Factorizamos S
A+Bs-c2A-c1B

Para que se dé la igualdad consideramos los valores c1 y c2:
wn2=A+Bs-c2A+c1B
wn2=A+Bs--ζwn+wn*ζ2-1A--ζwn-wn*ζ2-1B

Igualando...