Proyecto1 107 1 00 2015 Proy 1 MI1 1er Sem 2015

Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería

Departamento de matemática
Matemática intermedia 1

Proyecto 1
Fecha de entrega: martes 3 de marzo de 2015
Introducción:
El desarrollo de proyectos en pareja, es importante en la formación del estudiante ya que le
permite interactuar con sus compañeros en la solución de problemas, los cuales requieren el
uso de tecnología para susolución.
Para resolver los problemas, los dos estudiantes deben realizar un análisis matemático
así como realizar los cálculos utilizando el software que consideren conveniente. Entre los
programas que puede utilizar están: Scientific Notebbok, Mathematica, Maple, derive,
Mathlab, etc.
El informe debe ser presentado utilizando un procesador de textos, en cuyo caso deben
importarse los resultados delprograma matemático o bien editando completamente el
informe con el editor que incluyen algunos programas como Scientific Notebook,
Mathematica y Maple.
Problema 1: Criptografía
Muchas veces en el mundo de la informática, se necesita enviar mensajes encriptados que
sean difíciles de desencriptar por personas a las que no se les quiere dar la información pero
que si lo sea por las personas que lodeben recibir. Si bien es cierto que hay muchas formas
de encriptar, en la mayoría de los casos se usa el álgebra de matrices para hacerlo. Se dará
a continuación un ejemplo muy eficaz que se puede usar una matriz código cuadrada y
pequeña cuando los mensajes son muy grandes.
Se escoge un matriz M que tenga inversa, la cual solo debe ser conocida por las personas que
lo envían y las personas a lasque envían el mensaje.
Ejemplo: Si queremos encriptar el mensaje “La matemática es puerta y llave de la ciencia.”
reemplazamos cada letra del mensaje por el numero que le corresponde en el abecedario

A=1
H=8
Ñ=15
U=22

B=2
I=9
O=16
V=23

C=3
J=10
P=17
X=24

D=4
K=11
Q=18
Y=25

E=5
L=12
R=19
Z=26

F=6
M=13
S=20

G=7
N=14
T=21

Dándole al espacio en blanco el cero (0), al punto (.) el 27, a la coma(,) el 28, a la a tildada (á)
el 29, e tildada el (é) el 30, i tildada el (í) el 31, la o tildada el (ó) el 32 y a las comillas el 33.
En este caso tenemos: 33, 12, 1, 0, 13, 1, 21, 5, 13, 29, 21, 9, 3, 1, 0, 5, 20, 0, 17, 22, 5, 19, 21,
1, 0, 25, 0, 12, 12, 1, 23, 5, 0, 4, 5, 0, 12, 1, 0, 3, 9, 5, 14, 3, 9, 1, 27, 33.

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Matemática intermedia 1

La lista de númerosobtenida debe ser ordenada como una matriz de dos filas y las columnas
que sean necesarias, colocando los números en mismo orden del listado (nótese que se van
formando las columnas), así:

33 1 13 21 13 21 3 0 20 17 5 21 0 0 12 23 0 5 12 0 9 14 9 27
12 0 1 5 29 9 1 5 0 22 19 1 25 12 1 5 4 0 1 3 5 3 1 33



1 − 1 
 por lo
1 − 2

La matriz anterior será multiplicada por la izquierda por Men este caso M = 
que el producto a realizar es:

1 − 1  33 1 13 21 13 21 3 0 20 17 5 21 0 0 12 23 0 5 12 0 9 14 9 27
1 − 2 12 0 1 5 29 9 1 5 0 22 19 1 25 12 1 5 4 0 1 3 5 3 1 33



Al realizar el producto nos queda el mensaje encriptado.
21 1 12 16 − 16 12 2 − 5 20 − 5 − 14 20 − 25 − 12 11 18 − 4 5 11 − 3 4 11 8 − 6 
 9 1 11 11 − 45 3 1 − 10 20 − 27 − 33 19 − 50 − 24 10 13 − 8 5 10− 6 − 1 8 7 − 39



Esta matriz será enviada como un simple listado de números sin ninguna relación aparente.
21, 9, 1, 1, 12, 11, -16, -45, 12, 3, 2, 1, -5, -10, 20, 20, -5, -27, -14, -33, 20, 19, -25, -50, -12, 24, 11, 10, 18, 13, -4, -8, 5, 5, 11, 10, -3, -6, 4, -1, 11, 8, 8, 7, -6, -39.
Para desencriptar el mensaje, quien lo recibe debe armar la matriz a partir de los datos
recibidos (eneste caso una matriz de 2 por 22 formando columnas al ir ingresando los datos)

 2 − 1

− 1

y multiplicarla por M −1 siempre por la izquierda, donde M −1 = 
1

2 − 1 21 1 12 16 − 16 12 2 − 5 20 − 5 − 14 20 − 25 − 12 11 18 − 4 5 11 − 3 4 11 8 − 6 
1 − 1  9 1 11 11 − 45 3 1 − 10 20 − 27 − 33 19 − 50 − 24 10 13 − 8 5 10 − 6 − 1 8 7 − 39




Al realizar el producto se obtiene...