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10. FUNCIÒN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL

Principales leyes de distribución de variables aleatorias. Como complemento al capítulo anterior en el que definimos todos los conceptos relativos a variables aleatorias, describimos en éste las principales leyes de probabilidad que encontramos en las aplicaciones del cálculo de probabilidades. Es necesario hacer referencia en el estudio de las funciones demayor aplicación en forma detallada y segura de forma que faciliten una herramienta para el estudiante y le permitan un trabajo seguro y eficiente en su desarrollo profesional y su investigativo.

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal o de Gauss es sin duda la más importante de cuantas hay, tanto por razones prácticas como teóricas. En la sección sobre análisis normal se veránalgunas de sus aplicaciones. Formalmente, una variable aleatoria o población X es normal de media m y varianza s2, lo que se expresa como N(μ,σ), si su función de densidad es
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Los valores que toma la función de probabilidad acumulada,
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se pueden calcular a continuación, sin más que introducir los parámetros de media (μ) y desviación típica (σ), junto con el argumento x. Como yase ha indicado, la media y la varianza de la variable aleatoria normal X son E[X]=μ y V[X]=σ2, respectivamente.

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Un 50% de los valores están a la derecha de este valor central y otro 50% a la izquierda. Esta distribución viene definida por dos parámetros N (μ, σ 2), siendo μ el valor medio de la distribución y es precisamente donde se sitúa el centro de la curva y σ 2: es la varianza.Indica si los valores están más o menos alejados del valor central: si la varianza es baja los valores están próximos a la media; si es alta, entonces los valores están muy dispersos.

Cuando la media de la distribución es 0 y la varianza es 1se denomina normal tipificada, y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de la curva de estadistribución. Además, toda distribución normal se puede transformar en una normal tipificada aplicando
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La distribución normal tipificada tiene la ventaja de que las probabilidades para cada valor de la curva se encuentran recogidas en una tabla que se indica en el anexo a este documento

|Los parámetros de esta función son E(X)=μ y V(X)=σ2 En la figura siguiente se muestran distribucionesgaussianas |
|de diferente varianza |
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Ejemplo, La renta media de los habitantes de un país es de 4 millones de pesos/año, con una varianza de 1,5. Se supone que se distribuye según una distribución Normal. Calcular:
a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones de pesos.
b) Renta a partir de la cual se sitúa el 10% de lapoblación con mayores ingresos.
c) Ingresos mínimo y máximo que engloba al 60% de la población con renta media.
a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones de pesos.
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a) El valor de z para 3 millones de pesos es de -0,816.
P(X1,4) = 1 - P (z4, y nq=140>4, entonces [pic]

Así aproximando la variable aleatoria discreta binomial X, mediante la variablealeatoria continua normal,
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También es necesario calcular P(X=60). Esta probabilidad se calcula exactamente como:
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TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

El Teorema Central del Límite dice que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal....