Prueba de anderson

Instituto Tecnológico de Calkini

Carrera: Ingeniería Industrial

Matemáticas II

4.6 Cálculo de volúmenes por el método de los discos
Autor: Guadalupe Cardozo Aguilar

UNIDAD I V-

APLICACIÓNES DE LA INTEGRAL

SESIÓN 23 y 24

Cálculo de volúmenes por el método de los discos

Presentación

SE ELABORARÁ EL CONCEPTO DE CÁLCULO DE VOLÚMENES POR EL MÉTODO DE LOS DISCOS

Objetivosespecíficos de la sesión

El alumno identificará el concepto de cálculo de volúmenes por el método de los discos

Programación de actividades y anotación de los materiales didácticos para llevar a cabo la sesión.

Actividad
Leer el material de apoyo y reforzar lo aprendido resolviendo los reactivos que a continuación se presentan


4.6 Cálculo de volúmenes por el método de los discosVolúmenes de sólidos de secciones transversales conocidas |
Cuando en los volúmenes de revolución se rotó alrededor del eje la región plana limitada por la curva el eje las rectas y se llegó a donde la expresión se puede interpretar como el área de la sección transversal del sólido hecha por un plano perpendicular al eje a una distancia de unidades con respecto al origen; esta área de lasección es la de una circunferencia. Si ahora la sección transversal tiene un área se puede utilizar el mismo principio para decir el volumen estará dado por

Ejemplo 1:La base de cierto sólido es la parábola Las secciones
transversales perpendiculares al eje son triángulos equiláteros; encontrar
el volumen del sólido.
La base del triángulo será . Por ser el triángulo equilátero

El área deun triángulo es y la sección transversal tiene un volumen para lo cual va de a , con lo cual

Ejemplo 2: Calcular el volumen de una pirámide de base rectangular de dimensiones y y de altura .

Se podría tomar el origen del sistema en el centro del rectángulo, la altura se mide sobre el eje con lo cual las secciones tranversales perpendiculares esta vez al eje son rectángulos de lados y elvolumen de una tajada tomada así es Para poder expresar x en términos de se usa semejanza de triángulos donde

que corresponde a la fórmula geométrica Area de la base)(altura)
También se pude tomar el vértice de la pirámide en el origen , la altura medida sobre el eje , el centro de los rectángulos queda sobre el eje y las secciones perpendiculares al eje son
rectángulos de lados y ; elvolumen de una sección transversal es
Para expresar en términos de , se usan triángulos semejantes con con lo cual

Ejemplo 3: Las secciones transversales de cierto sólido por planos perpendiculares al eje son
semicírculos con diámetros que van desde la curva hasta la curva el sólido está entre los puntos de intersección de las dos curvas; encontrar el volumen.

Puntos de intersección : lospuntos son y
Como las secciones transversales son perpendiculares al eje un elemento de volumen estará dado por
El diámetro de cada semicírculo será el radio entonces
Con lo cual

Ejemplo 4: Un tronco tiene forma de cilindro circular recto de radio . A éste tronco se le va a quitar un trozo en forma de cuña haciéndole un corte vertical y otro a un ángulo , de manera que los dos cortes sentersectan en un diámetro del tronco. Calcular el volumen de la cuña.
| | |
Las secciones son triángulos rectángulos donde un ángulo vale La altura de cada triángulo es
Para la base y
Cada cuña tiene espesor ; el volumen de cada tajada
Como el tronco es circular cada punto satisface la ecuación

Ya se puede hacer el caso particular de que el ángulo sea de o de o cualquier otroCalcular los siguientes ejercicios
1) Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones en torno a las rectas que se especifican , en el eje “x”

a)
b)
c)
d)
e)
2) Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones en torno a las rectas que se especifican , en el eje “y”

a)...