PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Las coordenadas del punto medio M de un segmento son la semisuma de las coordenadas del los extremos del segmento, A y B:
A = (x1,y1); B = (x2,y2)
M = (x,y), donde: 
                               x = (x1 + x2) / 2; 
                              y = (y1 + y2) / 2;

1. Halla las coordenadas del punto medio del segmento determinado por los puntos P(6,-1) yQ(4,7);
2. Calcula las coordenadas del punto B de un segmento AB sabiendo que las coordenadas del extremo son A(2, 1) y las del punto medio M(4, 2,5)
3. Halla las coordenadas del punto medio M de los segmentos determinados por cada uno de los pares de puntos:
a) A(0,4) y B(0,8)
c) A(0,0) y B(12,6)
b) A(2,4) y B(6,8)
d) A(6,0) y B(10,0)
4. Calcula las coordenadas del punto B de unsegmento AB sabiendo que las coordenadas de A son (2,6) y las del punto medio M son (4,5).





Pendiente de una recta
 
Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.
 
Si una recta pasa por dos puntos dintintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente (m) está dada por:
 

Esto es,

 
Ejemplo para discusión:  Dibuja la recta que pasa porlos puntos dados y halla la pendiente para cada caso.
 
1)  (-3,4) y (6, -2)
2)  (-3, -4) y (3, 2)
3)  (-4, 2) y ( 3, 2)
4)  (2, 4) y (2, -3)
 
Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:
 
Pendiente
Tipo de recta
positiva
recta ascendente
negativa
recta descendente
cero
recta horizontal
no definida
recta vertical
 Ejercicio:  Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.
 
1)  (-3 , -3) y (2, -3)
2)  (0, 4) y (2, -4)
3)  (-2, -1) y (1, 2)
4)  (-3, 2) y (-3, -1)
 
Ecuaciones de la forma pendiente-intercepto
 
Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en y se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto. 
 
Por ejemplo,  laecuación y = -3x + 5 está expresada de la forma pendiente-intercepto donde la pendiente (m) es -3  y el intercepto en y es (0, 5).
Nota:  Una ecuación de la forma  y = mx  representa una recta que pasa por el origen.
 
 
Ejemplo:  La pendiente (m) es -3  y el intercepto en y es (0, 4).  ¿Cuál es la ecuación de la recta de la forma pendiente-intercepto?
 
Ejercicio:  Escribe la ecuación de la rectade la forma pendiente-intercepto con pendiente 3  y el intercepto en y en (0, 5).
 
Ecuaciones lineales en dos variables de forma general
 
Definición: Una ecuación de la forma ax + by = c donde a, b y c son constantes con a diferente de cero, b diferente de cero, x, y variables se conoce como una ecuación lineal en dos variables de forma general.
 
 Ejemplos:  2x + y = 4;  3x - 4y = 9.
 Las ecuaciones y = -3x + 5  y  y = -2x  son ecuaciones lineales en dos variables pero no están expresadas de la forma general.  Lo podemos lograr cambiando de lugar los términos correspondientes.  De manera que:
 
y = -3x + 5  en la forma general es  3x + y = 5
y = -2x  en la forma general es  2x + y = 0
 
La ecuación x + y = 2 no está expresada de la forma pendiente-intercepto.  Pero lopodemos hacer cambiando términos de posición, esto es, y = -x + 2.  Donde la pendiente (m) es -1 y el intercepto en y es (0, 2).
 
Ejemplo:  Determina la pendiente  y  el intercepto en y  de la recta  cuya  ecuación es 2x + y = 1.  Dibuja la gráfica.
 
Rectas verticales y horizontales
 
La ecuación de una recta vertical se expresa de la forma x = a, donde a es una constante.  Recuerda que en unarecta vertical la pendiente no está definida.
 
La ecuación de una recta horizontal se expresa de la forma y = b, donde b es una constante.  La pendiente de una recta horizontal es cero.
 
Ejemplos:  Construye la gráfica de cada ecuación:
 
1)  x = -2
2)  y - 5 =  0
3)  2y + 12 = 0
4)  3x – 15 = 0
Ecuaciones de la forma punto-pendiente
 
La ecuación de la recta que pasa por un...