Quimica


Baruta, Junio 07 2013
Colegio Simón Bolívar II


Teorema de Euclides y Tales


Preparado por:

Briceño, Andrés
González, Aarón
Salas, Cesar



Introducción:

Los triángulos son figuras de mucha importancia en la Geometría. Su estudio ha generado una rama de la Matemática llamada Trigonometría.
Los triángulos rectángulos en particular tienen propiedades especiales quenos ayudan a resolver una gran cantidad de situaciones.
Euclides estudió en profundidad estas figuras, con el estudio del Teorema de Euclides relativo a la altura entenderemos la aplicación del mismo para el cálculo de altura y distancia en ciertas situaciones.

Teorema de Euclides:
En todo triángulo rectángulo se cumple que:
El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto delas proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (teorema de la altura).

El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la hipotenusa (teorema del cateto).





h2 = p . q
a2 =  p . c
b2 = q . c
 
 
 
Y para que nos sirve conocer este teorema:
Pues para calcular medidas y distancias desconocidas.

Teorema de Tales:
¿Haspensado alguna vez cómo es posible medir ciertas alturas a las cuales no podemos llegar con una escalera u otro instrumento? Hace muchos años, un señor conocido como Tales de Mileto pudo calcular la altura de la pirámide de Keops sin medirla directamente. ¿Cómo lo habrá logrado?
 Se cuenta que en uno de sus viajes a Egipto determinó la altura de la pirámide de Keops, aprovechando la sombra que estaproducía en un determinado momento, aquel en el que la longitud de la sombra sea igual a la de la pirámide (los rayos del Sol deben tener una inclinación de 45º), y además perpendicular a la base. Debido a la situación de la pirámide de Keops, en Gizeh, a 30º de latitud en el hemisferio norte, sólo hay dos posibilidades para que Tales realizara esta medición, el 21 de noviembre o el 20 de enero.Ver cuadro:

 

Tales fue el primero en demostrar sus afirmaciones, por lo que se le considera el primer matemático de la historia.

Son cinco sus teoremas geométricos:
1. Todo diámetro bisecta a la circunferencia
2. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales
3. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales
4. Dos triángulos que tienen dos ángulos y un ladorespectivamente iguales son iguales
5. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto

Sobre el conocido Teorema de Tales, tal vez no fuera Tales su autor, sin embargo, se le ha atribuido a él por haberlo utilizado para medir distancias.



Teorema:

Los triángulos BED y CED tienen la misma área, porque tienen la misma base y la misma altura.
Ejemplo:
Calculemos el área del triánguloADE: Será AD . h / 2 = AE . h' / 2
Calculemos el área del triángulo CDE: Será CD . h / 2
Calculemos el área del triángulo BED: Será BE . h' / 2
Como las áreas de los triángulos BED y CDE son iguales, los cocientes ADE / BED y ADE /CDE serán iguales.
Entonces AD / CD  = AE / BE












Criterios de semejanza de triángulos?
Se consideran semejantes si cumple alguno de lossiguientes criterios

1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.





 
2. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.






 
3. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.







Ejemplo de Triángulos Semejantes

Son semejantes los siguientes triángulos:Son semejantes porque tienen los lados proporcionales.





180º − 100º − 60º = 20º
Son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.




Son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y un ángulo igual.







Ejemplo de Uso de los Teoremas anteriores:
Cuando los bomberos acuden a un edificio, es muy habitual que utilicen sus escaleras desplegables para ascender, desde el...