Quimica

1 f (t)  2







F() exp(i t) d

La transformada de Fourier
F ( ) 






f (t ) exp(it ) dt

La transformada de Fourier
Sea f(t) una función localmente integrable cuya integral valor absoluto esta acotada en R. Se define su transformada de Fourier como:

F ( ) 



 Siendo la anti-transformada o transformada inversa


 f (t ) e

 i tdt

f (t ) 

1 2



F ( )e it d 

Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F() (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.

Notación: A la función F() se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o fˆ, es decir

ˆ F [ f (t )]  F ( )  f ( ) 





 f (t ) e

 i t

dt

En forma similar, a laexpresión que nos permite obtener f(t) a partir de F() se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir

F [ F ( )]  f (t ) 
1

 1 2



 F ( )e

i t

d

Transformadas integrales

F ( )   K ( , t ) f (t ) dt
a

b

– K(,t): núcleo o kernel. – Asocia a cada función f(t) en el espacio t, directo o real, otra función F() en el espacio o recíproco. – Ejemplos: de Fourier, Wavelet, transformada Z, de Laplace, de Hilbert, de Radon, etc

Un problema que es difícil de resolver en sus "coordenadas" (espacio t) originales, a menudo, es más sencillo de resolver al transformarlo a espacio . Después, la transformada inversa nos devuelve la solución en el espacio original.

Problem in Transform space Integral transform Originalproblem

Relatively easy solution

Solution in Transform space

Inverse transform Difficult solution Solution of original problem

Ejemplo. Calcular F() para el pulso rectangular f(t) siguiente:
1

f(t)

t
-p/ 0 2 p/ 2

Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es:
0  f (t )  1 0  t  2p p 2 t  p 2 t
p 2

Integrando:

F ( ) 





 f(t ) e
p/2 p / 2

 i t

p/2

dt 

p/2

e

 i t

dt
i p / 2



1  i

e

 it



1  i

(e

 i p / 2

e

)

Usando la fórmula de Euler:

sen(p / 2) 

e

i p / 2

 e  i p / 2 2i

sen (p / 2) F ( )  p  p sinc (p / 2) p / 2

0  f (t )  1 0 

t p 2 t 
p 2

p 2

p 2

p =1

t

En forma gráfica, latransformada es:
F(w)
1

F ( )  p sinc (p / 2)

F(w) con p=1

0.5 0 -50 0 50

w

Algunas funciones no poseen transformada de Fourier
La condición de suficiencia para que la transformada de Fourier de f(x), F() exista es:






g ( x) dx  
2

es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a + y – en generalno tienen transformadas de Fourier.

La transformada de Fourier es en general compleja
La transformada de Fourier F(k) y la función originial f(x) son ambas en general complejas.

F  f ( x)  Fr (k )  iFi (k )

De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:

F  f ( x)  F (k )  A(k )ei ( k ) A  F (k )  F  Fi
2 r 2

A  amplitud o magnitud espectral   faseespectral A  F  Fr2  Fi 2  espectro de potencia
2 2

La transformada de Fourier cuando f(x) es real
La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:


Fr (k )  Fi (k ) 

 

 f ( x) cos(kx)dx



 f ( x) sin(kx)dx

Propiedades de las transformadas de Fourier: 1. Linealidad:
.T  f (t)F ˆ   .f  f (t)  g(t) F .T .fˆ   g  ˆ   F .T. g(t) g  ˆ 
.T . ˆ    (a  ib) f (t)F (a  ib) fˆ  f (t) f   F .T .

La transformada de Fourier de la combinación lineal de dos funciones.
f(t) t g(t) G() t F()




F() + G()

F {af (t )  bg (t )}  aF { f (t )}  bF {g (t )}

f(t) + g(t) t



Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:

 a  0 , t  2 ...