Quimica

Transformada de Laplace
La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:
F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.
siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino unadistribución con una singularidad en 0, la definición es
F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{-\varepsilon}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. TambiMatemáticamente, un impulso puede ser representado por una función Delta de Dirac. Supongamos que T es un sistemadiscreto, es decir, que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]:

Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a través de los números enteros), produciendo nuevas sucesiones. Tener en cuenta que T no es el sistema, sino una representación matemática del sistema. T puede ser no lineal, por ejemplo:

o lineal, como:
.
Supongamos que T es lineal. Entonces

y

Supongamostambién que T es invariante en el entorno, es decir que si entonces . En tal sistema cualquier salida puede calcularse en términos de la entrada y en una sucesión muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo. Esto puede verse de la siguiente manera: Tomando la identidad

y aplicando T en ambos lados

Por supuesto, esto tiene sentido sólo si

cae en eldominio de T. Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir

Y como la salida y[k] está dada por

podemos escribir

Reemplazando

obtenemos finalmente

La sucesión es la respuesta a impulso del sistema representado por T. Como se observa arriba, es la salida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto. Se obtienen resultados similares en sistemas detiempo continuo.
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto, ubicado en un punto p. El globo explota y hace un sonido similar a un "pum". Aquí el recinto es un sistema T que toma el sonido "pum" y lo dispersa a través de múltiples reflexiones. La entrada es el "pum", similar (debido en parte a su corta duración) a un delta de Dirac, y la salida es la sucesión del sonido afectadopor el sistema, y depende de la ubicación (punto p) del globo. Si conocemos para cada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del salón, y es posible predecir la respuesta del mismo a cualquier sonido producido en él.
Aplicaciones matemáticas
En lenguaje matemático, la respuesta a impulso de una transformación lineal es la imagen de la función Delta de Dirac sobre latransformación.
La transformada de Laplace de una respuesta a impulso es conocida como la función de transferencia. Usualmente es más fácil analizar sistemas usando funciones de transferencia en contraposición a las funciones de respuestas a impulso. La transformada de Laplace de la salida de un sistema puede determinarse mediante el producto entre la función de transferencia y la función entrada enel plano complejo, también conocido como el dominio espectral o de frecuencias. La transformada inversa de Laplace de éste resultado dará como resultado la función salida en el dominio temporal.
Para determinar la función de salida en el dominio temporal se requiere de la convolución de la función de entrada con la función de respuesta a impulso. Esto requiere el uso de integrales, y normalmenteresulta más dificultoso que simplemente multiplicar dos funciones en el dominio espectral.
Aplicaciones prácticas
En los sistemas reales no es posible generar un impulso perfecto para aplicar como prueba en ninguna entrada. Por lo tanto, se usan aproximaciones de pulsos muy breves. Debido a que el pulso es suficientemente corto comparado a la respuesta a impulso, el resultado obtenido será...