Quimico

CALCULO DE MOMENTOS, CENTROS DE MASA Y TRABAJO

Masa:
La masa es una medida de la resistencia de un cuerpo al cambiar su estado de movimiento, y es independiente del sistema gravitatorio particular en el que el cuerpo se encuentre.
La masa de un objeto a veces es identificada con su peso. Esto no es técnicamente correcto. El peso es un tipo de fuerza y como tal es dependiente de lagravedad. La fuerza y la masa están relacionadas por la ecuación:
Fuerza = (masa) (aceleración)
• Ejemplo 1:
Encontrar la masa (en slugs) de un objeto cuyo peso al nivel del mar es de una libra.
Solución:
Usando 32 pies/s2 como la aceleración debida a la gravedad produce
Masa = fuerza/ aceleración
= 1 libra/ 32 pies/s2
=0.03125 libras/pies/s2
= 0.03125 slug.

Centro de masa en un sistema unidimensional:
Se consideran dos tipos de momentos de una masa, el momento respecto a un punto y el momento respecto a unarecta. Para definir estos dos momentos considerar una situación ideal en la cual una masa m se concentra en un punto. Si X es la distancia entre este punto masa y otro punto P, el momento de msobre el punto P es:
Momento = mx
Y x es la longitud del brazo del momento.
Para generalizar se puede introducir una recta de coordenadas con el origen en le punto de apoyo, suponiendo que algunas masa localizadas en el eje x. la medida de la tendencia de este sistema a girar sobre el origen es el momento respecto al origen, y se define comola suma n de productos m1 x1.
M0= m1 x1 + m2 x2 +… mnxn.





Si M0= m1 x1 + m2 x2 +… mnxn= 0, el sistema esta en equilibrio.
Para un sistema que no esta en equilibrio el centro de masa se define como el punto X en el que hay que colocar el punto de apoyo para lograr el equilibrio. Si el sistema estuviera trasladado X unidades cada coordenada X1 se volvería (X1-X) y por qué el sistema detraslado seria 0, ser tiene:


=momento del sistema respecto al origen / masa total del sistema



Momentos y centros de mas: sistema unidimensional

Sea una masa puntual m1 x2 …,mn localizada en m1 x2…,xn.

1. El momento respecto al origen es M0= m1 x1 + m2 x2 +… mnxn
2. El centro de masa es x= M0/m, m = m1 + m2 +…+ mnes la mas total del sistema



Ejemplo 2:
Encontrar elcentro de masa del sistema lineal mostrado:

El momento sobre el origen es
M0 = m1 x1 + m2 x2+ m3 x3 + m4 x4
= 10 (-5) + 15 (0) + 10 (7)
=-50+0+20+70
=40.

Porque la masa total del sistema es m=10+15+5+10=40, el centro de masa es:
X = M0/m = 40/40 = 1.

Centro de masa de un sistema bidimensional
Momentos y centros de masa: sistema bidimensional

Sean las masas puntualesm1, m2 …mn localizadas en (x1,y1), (x1,y1),… (xn,yn).


1. El momento respecto al eje y es My = m1 x1 + m2 x2 +… mnxn
2. El momento respecto al eje • es Mx = m1 y1 + m2 y2 +… mnyn
3. El centro de mas (X, Y) (o centro de gravedad) es:

X= My/m y Y= Mx/m
Donde = m1 + m2 +…+ mn es la masa total del sistema.




Ejemplo 3:
Encontrar el centro de masa deun sistema de masas puntuales m1= 6, m2 = 3, m3 = 2 m4 = 9, localizados en (3,-2), (0,0), (4,2).
Solución:
m= 6 + +3 +2 +9 = 20 masa
My= 6(3) + 3(0) + 2(-5) + 9(4) = 44 momento sobre el eje y.
MX = 6(-2) + 3(0) + 2(3) + 9(2) = 12 momento sobre el eje .
Asi,
x=My/m= 44/20= 11/5
y
y=Mx/m= 12/20= 3/5
yasi el centro de masa es (11/5 ,3/5)
CENTRO DE MASA Y LAMINA PLANAEjemplo 4: centro de masa de una lamina plana
Encontrar el centro de masa de la lamina de densidad uniforme ρ acotada por la grafica de f(x)=4-x2y el de x
Solución: por que el centro de masa esta situado en el eje de simetría, se sabe que x=0
Es mas, la masa de la lamina es:
m= ρ∫.2-2(4-x2) dx
m= ρ∫.2-2[4-x3/3] 2-2 dx
= 32ρ/3
para encontrar el momento respecto del eje x poner...