Razon y proporcion
Páginas: 6 (1470 palabras)
Publicado: 16 de febrero de 2011
Razón y proporción. Razón. Razón entre dos números a y b es el cociente •
a . b
Sus términos son antecedente y consecuente.
Proporción. Una proporción es una igualdad entre dos razones.
a c = b d
• • Se lee “a es a b como c es a d”. a, b, c y d son los términos de la proporción. Llamamos extremos al 1er y 4º términos y medios al 2º y 3er términos. La constante de proporcionalidad esel cociente entre un antecedente y un consecuente.
Propiedades de las proporciones. Propiedad fundamental de las proporciones. En cualquier proporción se cumple que el producto de los medios es igual al producto de los extremos. En la proporción:
21 35 = 3 5
a c = ⇒ a ⋅d = b ⋅c b d
Otras propiedades. Si intercambiamos los medios o extremos obtenemos otra proporción. los
21 ⋅ 5 = 3 ⋅35 ⇒ 105 = 105
d c = b a a c = b d a b = c d
Si intercambiamos los antecedentes con los consecuentes obtenemos otra proporción.
5 35 = 3 21
21 35 = 3 5
21 3 = 35 5
a c b d = → = b d a c
21 35 3 5 = → = 3 5 21 35
Si sumamos o restamos a cada antecedente, su consecuente, obtenemos otra proporción.
a c a+b c +d = → = b d b d
Si en varias razones iguales sumamos todos losantecedentes y todos los consecuentes, obtenemos otra razón de la misma constante.
21 35 24 40 = → = 3 5 3 5
a c e a+c +e = = = b d f b+d +f
Cuarto proporcional. Al término que forma proporción con otros tres, a, b y c se le llama cuarto proporcional. Basándonos en la prop. fundamental: Para calcular un extremo, multiplicamos los medios y dividimos por el otro extremo. Para calcular un medio,multiplicamos los extremos y dividimos por el otro medio.
21 35 56(21 + 35) = = 3 5 8(3 + 5)
3 6 = ; 4 x
x=
4 ⋅ 6 24 = =8 3 3
La cuarta proporcional de 3, 4 y 6 es 8.
Medio proporcional. Una proporción en la que los medios son iguales se llama proporción continua. Las que no son continuas se llaman discretas. En una proporción continua un medio es media proporcional de susextremos. Para calcular la media proporcional se halla la raíz cuadrada del producto de los extremos. El cuarto término de una proporción continua es la tercera proporcional. Para calcularla, dividimos el cuadrado del segundo término entre el primero.
3 6 es una proporción continua. = 6 12
6 es la media proporcional de 3 y 12.
4 x = → x = 4 ⋅ 9 = 36 = 6. x 9
La media proporcional de 4 y 9 es 6.8 4 4 2 16 = →x= = =2 4 x 8 8 2 es la tercera proporcional de 8 y 4.
Magnitudes proporcionales. Magnitudes directamente proporcionales. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una cantidad de una de ellas por un número, la cantidad correspondiente de la otra magnitud queda multiplicada o dividida por ese mismo número. Si dos magnitudes son directamenteproporcionales se cumple que: • La razón formada por dos cantidades de una magnitud es igual a la razón formada por las cantidades correspondientes de la otra magnitud. • Las razones formadas por cantidades de ambas magnitudes son iguales. (De una y otra magnitud). Azúcar (Kg) Coste (€) 1 1’5 2 3 3 4’5 4 6
1 2 3 4 = = = =k 1'5 3 4'5 6 2 3 = 3 4'5
Resolución de problemas: reducción a launidad. Se aplica el siguiente procedimiento: • Se calcula la cantidad de una magnitud correspondiente a la unidad de la otra magnitud. (constante de proporcionalidad). • Con el valor de la unidad, se calcula el valor deseado. Resolución de problemas: regla de tres directa. Si disponemos de dos magnitudes directamente proporcionales y conocemos una cantidad de la primera y la cantidad correspondientede la segunda y queremos calcular la cantidad que le corresponde a otra conocida de cualquiera de las dos magnitudes, planteamos una regla de tres simple directa. 1ª magnitud a c 2ª magnitud b x
Establecemos la proporción y resolvemos aplicando la propiedad fundamental.
a b c ⋅b = →x= c x a
Magnitudes inversamente proporcionales. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el...
a . b
Sus términos son antecedente y consecuente.
Proporción. Una proporción es una igualdad entre dos razones.
a c = b d
• • Se lee “a es a b como c es a d”. a, b, c y d son los términos de la proporción. Llamamos extremos al 1er y 4º términos y medios al 2º y 3er términos. La constante de proporcionalidad esel cociente entre un antecedente y un consecuente.
Propiedades de las proporciones. Propiedad fundamental de las proporciones. En cualquier proporción se cumple que el producto de los medios es igual al producto de los extremos. En la proporción:
21 35 = 3 5
a c = ⇒ a ⋅d = b ⋅c b d
Otras propiedades. Si intercambiamos los medios o extremos obtenemos otra proporción. los
21 ⋅ 5 = 3 ⋅35 ⇒ 105 = 105
d c = b a a c = b d a b = c d
Si intercambiamos los antecedentes con los consecuentes obtenemos otra proporción.
5 35 = 3 21
21 35 = 3 5
21 3 = 35 5
a c b d = → = b d a c
21 35 3 5 = → = 3 5 21 35
Si sumamos o restamos a cada antecedente, su consecuente, obtenemos otra proporción.
a c a+b c +d = → = b d b d
Si en varias razones iguales sumamos todos losantecedentes y todos los consecuentes, obtenemos otra razón de la misma constante.
21 35 24 40 = → = 3 5 3 5
a c e a+c +e = = = b d f b+d +f
Cuarto proporcional. Al término que forma proporción con otros tres, a, b y c se le llama cuarto proporcional. Basándonos en la prop. fundamental: Para calcular un extremo, multiplicamos los medios y dividimos por el otro extremo. Para calcular un medio,multiplicamos los extremos y dividimos por el otro medio.
21 35 56(21 + 35) = = 3 5 8(3 + 5)
3 6 = ; 4 x
x=
4 ⋅ 6 24 = =8 3 3
La cuarta proporcional de 3, 4 y 6 es 8.
Medio proporcional. Una proporción en la que los medios son iguales se llama proporción continua. Las que no son continuas se llaman discretas. En una proporción continua un medio es media proporcional de susextremos. Para calcular la media proporcional se halla la raíz cuadrada del producto de los extremos. El cuarto término de una proporción continua es la tercera proporcional. Para calcularla, dividimos el cuadrado del segundo término entre el primero.
3 6 es una proporción continua. = 6 12
6 es la media proporcional de 3 y 12.
4 x = → x = 4 ⋅ 9 = 36 = 6. x 9
La media proporcional de 4 y 9 es 6.8 4 4 2 16 = →x= = =2 4 x 8 8 2 es la tercera proporcional de 8 y 4.
Magnitudes proporcionales. Magnitudes directamente proporcionales. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una cantidad de una de ellas por un número, la cantidad correspondiente de la otra magnitud queda multiplicada o dividida por ese mismo número. Si dos magnitudes son directamenteproporcionales se cumple que: • La razón formada por dos cantidades de una magnitud es igual a la razón formada por las cantidades correspondientes de la otra magnitud. • Las razones formadas por cantidades de ambas magnitudes son iguales. (De una y otra magnitud). Azúcar (Kg) Coste (€) 1 1’5 2 3 3 4’5 4 6
1 2 3 4 = = = =k 1'5 3 4'5 6 2 3 = 3 4'5
Resolución de problemas: reducción a launidad. Se aplica el siguiente procedimiento: • Se calcula la cantidad de una magnitud correspondiente a la unidad de la otra magnitud. (constante de proporcionalidad). • Con el valor de la unidad, se calcula el valor deseado. Resolución de problemas: regla de tres directa. Si disponemos de dos magnitudes directamente proporcionales y conocemos una cantidad de la primera y la cantidad correspondientede la segunda y queremos calcular la cantidad que le corresponde a otra conocida de cualquiera de las dos magnitudes, planteamos una regla de tres simple directa. 1ª magnitud a c 2ª magnitud b x
Establecemos la proporción y resolvemos aplicando la propiedad fundamental.
a b c ⋅b = →x= c x a
Magnitudes inversamente proporcionales. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el...
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