Razones Afines

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CAPITULO 4

Razones de Cambio Relacionadas
M.Sc. Sharay Meneses R.

Instituto Tecnol´
ogico de Costa Rica
Escuela de Matem´
atica

···
Revista digital Matem´
atica, educaci´
on e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

2
Cr´
editos

Primera edici´
on (MS Word)
Edici´
on LaTeX:

M. Sc. Sharay Meneses R., 2005.
M.Sc. Walter Mora F.

Contenido
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5

4.1

Introducci´on . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemas de Razones Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios Complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Respuestas de los ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pr´actica adicional de razonesrelacionadas (M.Sc. Luis Carrera R., M.Sc. Sharay Meneses R.)
4.4.1 Respuestas a la pr´actica adicional de razones relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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15
16Introducci´
on

dy
Se ha estudiado la regla de la cadena para obtener, impl´ıcitamente,
de una funci´on y = f (t). As´ı, por ejemplo,
dt
d
dy
( y n) = n y n − 1
.
dt
dt
Otra aplicaci´on importante de lo anterior es el c´alculo de razones de cambio de dos o m´as variables que cambian con el
tiempo; o sea, ¿qu´e tan r´
apido var´ıa una cantidad en el tiempo?
Por ejemplo, suponga que se tiene un recipientec´onico con agua, como el que se muestra en la figura. Cuando el agua sale
del recipiente, el volumen V, el radio r y la altura h del nivel del agua son, las tres, funciones que dependen del tiempo t.

Recipiente lleno

Recipiente vaci´andose

Estas tres variables est´
an relacionadas entre s´ı, por la ecuaci´on del volumen del cono; a saber:

V =

π 2
r h
3

(∗)
3

4
Por otra parte, derivandoimpl´ıcitamente ambos lados de (*) respecto del tiempo t, se obtiene la siguiente ecuaci´
on
de razones relacionadas:
dV
=
dt

π
3

2rh

dr
dh
+ r2
dt
dt

Se puede observar que la raz´on de cambio del volumen, est´a ligada a las razones de cambio de la altura y del radio, en donde:
dV
es la raz´on o rapidez a la cual var´ıa el volumen con respecto al tiempo
dt
dr
es la raz´on o rapidez a la cual var´ıael radio con respecto al tiempo
dt
dh
es la raz´on o rapidez a la cual var´ıa la altura con respecto al tiempo
dt
dV
As´ı, por ejemplo,
= 10 m3 /seg significa que el volumen est´a aumentando 10 m3 cada segundo; mientras que,
dt
dV
= −10 m3 /seg significa que el volumen est´a disminuyendo 10 m3 cada segundo.
dt

4.2

Problemas de Razones Relacionadas

De acuerdo con lo expuesto anteriormente, entodo problema de razones relacionadas (o tasas relacionadas), se calcula
la rapidez con que cambia una cantidad en t´erminos de la raz´on de cambio de otra(s) cantidad(es).

Estrategia para resolver problemas de razones relacionadas
(1) De ser posible, trazar un diagrama que ilustre la situaci´on planteada.
(2) Designar con s´ımbolos todas las cantidades dadas y las cantidades por determinar quevar´ıan con el tiempo.
(3) Analizar el enunciado del problema y distinguir cu´ales razones de cambio se conocen y cu´al es la raz´
on de cambio
que se requiere.
(4) Plantear una ecuaci´
on que relacione las variables cuyas razones de cambio est´an dadas o han de determinarse.
(5) Usando la regla de la cadena, derivar impl´ıcitamente ambos miembros de la ecuaci´on obtenida en (4), con respecto
altiempo t, con el fin de obtener la ecuaci´
on de razones relacionadas.
on resultante del punto (5), todos los valores conocidos de las variables y sus razones de cam(6) Sustituir en la ecuaci´
bio, a fin de deducir (despejar) la raz´
on de cambio requerida. (Nota: Es hasta en este momento, que se hacen las
sustituciones de acuerdo con los datos del problema)

5
Ejemplo 1

Un recipiente c´onico...