Razones cambios relacionados
Páginas: 15 (3540 palabras)
Publicado: 27 de junio de 2011
RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS hernanquiroz: kamelot@europe.com
MSc. Sharay Meneses R Se ha estudiado la regla de la cadena para obtener, implícitamente, . Así, por ejemplo, .
de una función
Otra aplicación importante de lo anterior es el cálculo de razones de cambio de dos o más variables que cambian con el tiempo; o sea, ¿qué tan rápido varía una cantidad en el tiempo? Por ejemplo,suponga que se tiene un recipiente cónico con agua, como el que se muestra en la figura. Cuando el agua sale del recipiente, el volumen V, el radio r y la altura h del nivel del agua son, las tres, funciones que dependen del tiempo t.
Estas tres variables están relacionadas entre sí, por la ecuación del volumen del cono; a saber:
Por otra parte, derivando implícitamente ambos lados de (*)respecto del tiempo razones relacionadas:
, se obtiene la siguiente ecuación de
Se puede observar que la razón de cambio del volumen, está ligada a las razones de cambio de la altura y del radio, en donde:
es la razón o rapidez a la cual varía el volumen con respecto al tiempo
es la razón o rapidez a la cual varía el radio con respecto al tiempo
es la razón o rapidez a la cual varía laaltura con respecto al tiempo
Así, por ejemplo,
significa que el volumen está aumentando
cada segundo; mientras
que,
significa que el volumen está disminuyendo
cada segundo.
2. Problemas de relaciones relacionadas De acuerdo con lo expuesto anteriormente, en todo problema de razones relacionadas (o tasas relacionadas), se calcula la rapidez con que cambia una cantidad entérminos de la razón de cambio de otra(s) cantidad(es).
Estrategia para resolver problemas de razones relacionadas (1) De ser posible, trazar un diagrama que ilustre la situación planteada. (2) Designar con símbolos todas las cantidades dadas y las cantidades por determinar que varían con el tiempo. (3) Analizar el enunciado del problema y distinguir cuáles razones de cambio se conocen y cuál es larazón de cambio que se requiere. (4) Plantear una ecuación que relacione las variables cuyas razones de cambio están dadas o han de determinarse. (5) Usando la regla de la cadena, derivar implícitamente ambos miembros de la ecuación obtenida en (4), con respecto al tiempo , con el fin de obtener la ecuación de razones relacionadas. (6) Sustituir en la ecuación resultante del punto (5), todos losvalores conocidos de las variables y sus razones de cambio, a fin de deducir (despejar) la razón de cambio requerida. (Nota: Es, hasta en este momento, que se hacen las sustituciones requeridas de acuerdo con los datos del problema) EJEMPLO. Un recipiente cónico (con el vértice hacia abajo) tiene 3 metros de ancho arriba y 3,5 metros de hondo. Si el agua fluye hacia el recipiente a razón de 3 metroscúbicos por minuto, encuentre la razón de cambio de la altura del agua cuando tal altura es de 2 metros. SOLUCIÓN. Sea el instante . el volumen del recipiente, el radio de la superficie variable en el instante y el nivel del agua en
Dato: Rapidez con que aumenta el volumen del agua; o sea,
.
Encontrar: Rapidez con que sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 2 metros; es decir,La ecuación que relaciona las variables es el volumen del cono: (*) Ahora bien, como el volumen consta de dos variables ( y ), conviene, en este caso, expresarlo únicamente en
términos de la altura .
, para lo cual se usará la relación que existe entre las variables citadas (Thales); a saber,
Sustituyendo en (*) se tiene que: La ecuación de razones relacionadas se obtiene derivandoimplícitamente, respecto del tiempo, a ambos lados de la ecuación , lo cual nos conduce a:
Finalmente, como se desea encontrar la variación de la profundidad del agua en el instante en que , sustituimos estos valores en (**) para obtener que:
, y dado que
Por lo tanto, el nivel del agua aumenta a una razón aproximada de
.
EJEMPLO. Un hombre se aleja de un edificio de 18 metros de...
MSc. Sharay Meneses R Se ha estudiado la regla de la cadena para obtener, implícitamente, . Así, por ejemplo, .
de una función
Otra aplicación importante de lo anterior es el cálculo de razones de cambio de dos o más variables que cambian con el tiempo; o sea, ¿qué tan rápido varía una cantidad en el tiempo? Por ejemplo,suponga que se tiene un recipiente cónico con agua, como el que se muestra en la figura. Cuando el agua sale del recipiente, el volumen V, el radio r y la altura h del nivel del agua son, las tres, funciones que dependen del tiempo t.
Estas tres variables están relacionadas entre sí, por la ecuación del volumen del cono; a saber:
Por otra parte, derivando implícitamente ambos lados de (*)respecto del tiempo razones relacionadas:
, se obtiene la siguiente ecuación de
Se puede observar que la razón de cambio del volumen, está ligada a las razones de cambio de la altura y del radio, en donde:
es la razón o rapidez a la cual varía el volumen con respecto al tiempo
es la razón o rapidez a la cual varía el radio con respecto al tiempo
es la razón o rapidez a la cual varía laaltura con respecto al tiempo
Así, por ejemplo,
significa que el volumen está aumentando
cada segundo; mientras
que,
significa que el volumen está disminuyendo
cada segundo.
2. Problemas de relaciones relacionadas De acuerdo con lo expuesto anteriormente, en todo problema de razones relacionadas (o tasas relacionadas), se calcula la rapidez con que cambia una cantidad entérminos de la razón de cambio de otra(s) cantidad(es).
Estrategia para resolver problemas de razones relacionadas (1) De ser posible, trazar un diagrama que ilustre la situación planteada. (2) Designar con símbolos todas las cantidades dadas y las cantidades por determinar que varían con el tiempo. (3) Analizar el enunciado del problema y distinguir cuáles razones de cambio se conocen y cuál es larazón de cambio que se requiere. (4) Plantear una ecuación que relacione las variables cuyas razones de cambio están dadas o han de determinarse. (5) Usando la regla de la cadena, derivar implícitamente ambos miembros de la ecuación obtenida en (4), con respecto al tiempo , con el fin de obtener la ecuación de razones relacionadas. (6) Sustituir en la ecuación resultante del punto (5), todos losvalores conocidos de las variables y sus razones de cambio, a fin de deducir (despejar) la razón de cambio requerida. (Nota: Es, hasta en este momento, que se hacen las sustituciones requeridas de acuerdo con los datos del problema) EJEMPLO. Un recipiente cónico (con el vértice hacia abajo) tiene 3 metros de ancho arriba y 3,5 metros de hondo. Si el agua fluye hacia el recipiente a razón de 3 metroscúbicos por minuto, encuentre la razón de cambio de la altura del agua cuando tal altura es de 2 metros. SOLUCIÓN. Sea el instante . el volumen del recipiente, el radio de la superficie variable en el instante y el nivel del agua en
Dato: Rapidez con que aumenta el volumen del agua; o sea,
.
Encontrar: Rapidez con que sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 2 metros; es decir,La ecuación que relaciona las variables es el volumen del cono: (*) Ahora bien, como el volumen consta de dos variables ( y ), conviene, en este caso, expresarlo únicamente en
términos de la altura .
, para lo cual se usará la relación que existe entre las variables citadas (Thales); a saber,
Sustituyendo en (*) se tiene que: La ecuación de razones relacionadas se obtiene derivandoimplícitamente, respecto del tiempo, a ambos lados de la ecuación , lo cual nos conduce a:
Finalmente, como se desea encontrar la variación de la profundidad del agua en el instante en que , sustituimos estos valores en (**) para obtener que:
, y dado que
Por lo tanto, el nivel del agua aumenta a una razón aproximada de
.
EJEMPLO. Un hombre se aleja de un edificio de 18 metros de...
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