Razones geometrica

E. E. T. N 6
(Escuela de Educación Técnica N 6)
Articulada con la Universidad Tecnológica Nacional Resolución N 1956/95

RAZONES Y PROPORCIONES GEOMETRICAS Teorema de Thales. Aplicaciones del teorema. Razones trigonométricas. Resolución de triángulos rectángulos.
APLICACIONES REALES Si una persona quiere medir aproximadamente el ancho de un río, lo puede hacer sin mojarse, mediante unmétodo matemático muy ingenioso.

Un poco de historia… Alberto Durero, un pintor del siglo XVI, estudió y descubrió algunas ideas geométricas que resultaron útiles a los artistas para realizar dibujos. En particular, se interesó por la perspectiva y, a partir de su obra, muchos matemáticos se dedicaron a producir y analizar nuevas relaciones geométricas. Algunas ideas básicas de la perspectiva segeneran a partir de relaciones entre rectas paralelas y secantes.

PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA: Teorema de Thales

Construcción previa:
1. Dibujar tres rectas paralelas y dos rectas transversales a ellas, como se ve en la figura. 2. Llamar A, B, C y P, Q, R a las intersecciones. 3. Medir los segmentos AB, BC, PQ y QR. 4. ¿Qué relación puedes intuir entre las medidas?

ENUNCIADO DEL TEOREMA DETHALES:
Si tres o más paralelas son cortadas por dos transversales, la razón de las longitudes de los segmentos determinados en una de ellas, es igual a la razón de las longitudes de los segmentos correspondientes determinados en la otra: AB PQ  BC QR

1 CAPÍTULO 2 Profesoras: Mónica Pesce – Lucía Sacco – Patricia Taddeo

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EL RECÍPROCO DEL TEOREMA DE THALES
También vale el siguiente teorema, que no es exactamente el recíproco, pero casi: ”Si dos de las tres rectas r, s, t son paralelas y se cumple que: rectas son paralelas”

AB PQ  entonces las tres BC QR

COROLARIOS:
Base media de un trapecio: 1. Construir un trapecio ABCD, con AB paralelo a CD. 2.Crear los puntos medios de DA y BC. Llamarlos M y N respectivamente. 3. ¿Cómo son los segmentos AB, MN y CD? Justificar. El segmento MN es la base media del trapecio ABCD. Base media de un triángulo: 1. Crear un triángulo ABC. 2. Marcar los puntos medios de AB y BC. Llamarlos M y N respectivamente. 3. ¿Cómo son los segmentos MN y AC? ¿Por qué? Esto es un poco más sutil. Acá no hay tres rectas comoen 1.3 para aplicar el recíproco de Thales. Pero no importa, podemos pensar que sí, trazando una paralela por B a AC.

PROBLEMAS:
1. Sea ABC un triángulo y sean M, N y P los puntos medios de sus lados. Probar que los triángulos ABC y MNP tienen sus ángulos congruentes. 2. Sea ABCD un cuadrilátero y sean M, N, P, Q los puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA respectivamente. Probar que elcuadrilátero MNPQ es un paralelogramo.

2 CAPÍTULO 2 Profesoras: Mónica Pesce – Lucía Sacco – Patricia Taddeo

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ACTIVIDAD Nº1:
Observar la figura y completar las proporciones:

A B

T

a

M

e
f

b

A // B // C // D M y T trasversales

ab  bc

C
Dd

c

g

h

 

dc

      
he

ef   eh 

  fg    eh  

ACTIVIDAD Nº2:
En las siguientes figuras, todas las medidas están expresadas en cm. Calcular la medida de x en cada caso:

a)

A

D

E

F

7

b)

x

2,5
1,2

x
B

3

C

8,4

A // B // C
L M

9,8

D // E // F N
7,5

c)

1,4
2,5

x
L // M // N

3 CAPÍTULO 2Profesoras: Mónica Pesce – Lucía Sacco – Patricia Taddeo

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ACTIVIDAD Nº3:
En la siguiente figura M, O y R están alineados al igual que N, O y T. MN es paralela a

TR . MN  12cm, TR  5 cm, MO  6cm y NO  9cm.
A.

TO mide:
b) 3,75 cm d) 21,6 cm

M

a) 2,5 cm...