reales soluciones

Números reales

Números reales y funciones elementales

1 Números reales
2x−3
x+2

< 31 .

Ejercicio 1.

Calcula para qué valores de x se verifica que

Solución 1.

Para quitar denominadores tenemos que multiplicar por x + 2.

1
11
a) Si x > −2, entonces x + 2 > 0 y 2x−3
x+2 < 3 ⇐⇒ 6x − 9 < x + 2 ⇐⇒ x < 5 .
1
b) Si x < −2, entonces x + 2 < 0 y 2x−3
x+2 < 3 ⇐⇒ 6x − 9 > x + 2 ⇐⇒ x >
verifica.Resumiendo
Ejercicio 2.

2x−3
x+2

<

1
3

⇐⇒ −2 < x <

11
5 ,

que no se

11
5 .

Encuentra aquellos valores de x que verifican que:

1
a) 1x + 1−x
> 0,
b) x2 − 5x + 9 > x,
c) x3 (x − 2)(x + 3)2 < 0,

d) x2 x,
e) x3 x,
f) x2 − 3x − 2 < 10 − 2x.

Solución 2.
a)
b)
c)
d)
e)
f)

1
1
0 < 1x + 1−x
= x(1−x)
⇐⇒ 0 < x(1 − x) ⇐⇒ 0 < x < 1.
x2 − 5x + 9 > x ⇐⇒ x2 − 6x + 9 > 0 ⇐⇒ (x − 3)2 > 0 ⇐⇒ x = 3.
x3 (x −2)(x + 3)2 < 0 ⇐⇒ x3 (x − 2) < 0 ⇐⇒ 0 < x < 2.
x2 ≤ x ⇐⇒ x2 − x ≤ 0 ⇐⇒ x(x − 1) ≤ 0 ⇐⇒ x ∈ [0, 1].
x3 ≤ x ⇐⇒ x(x − 1)(x + 1) ≤ 0 ⇐⇒ ] − ∞, −1] ∪ [0, 1].
Operando obtenemos que

x2 − 3x − 2 < 10 − 2x ⇐⇒ x2 − x − 12 < 0 ⇐⇒ (x − 4)(x + 3) < 0,
con lo que la desigualdad se cumple cuando los dos factores tienen signos distintos, esto es,
cuando x ∈] − 3, 4[.
Ejercicio 3.

Discute para qué valores de xse verifica que:

a) |x − 1| |x + 2| = 3,
b) |x2 − x| > 1,

c) |x − 1| + |x + 1| < 1,
d) |x + 1| < |x + 3|.

Solución 3.
√
a) 3 = |x − 1| |x + 2| = | (x − 1)(x − 2) | ⇐⇒ (x − 1)(x − 2) = ±3 ⇐⇒ x = 12 −1 ± 21 .
b) Vamos a discutir dos casos por separado,
i) Si x ∈ [0, 1], 1 < x2 − x = x − x2 ⇐⇒ x2 − x + 1 < 0 lo que no ocurre nunca.
ii) Si x ∈/ [0, 1], 1 < x2 − x = x2 − x ⇐⇒ x2 − x − 1 > 0 ⇐⇒ x ∈/–1–

√
√
1− 5 1+ 5
,
2
2

.

Funciones elementales

c) Nunca se verifica la desigualdad.
d) Vamos a usar que, para números positivos, 0 < x < y ⇐⇒ x2 < y2 .
| x + 1 | < | x + 3 | ⇐⇒ | x + 1 |2 < | x + 3 |2 ⇐⇒ (x + 1)2 < (x + 3)2
⇐⇒ x2 + 2x + 1 < x2 + 6x + 9 ⇐⇒ −2 < x.
Ejercicio 4.

¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad x2 − (a + b)x + ab < 0?

Solución 4.

0 > x2 − (a + b)x + ab = (x −a)(x − b) ⇐⇒ x ∈] min{a, b}, max{a, b}[.

2 Funciones elementales
Ejercicio 5.
a) y =
b) y =
c) y =

Calcula el dominio de las siguientes las funciones:
d) y = tan x + π4
e) y = log(sen(x))
f) y = log(sen(x))

x−2
x+2
2
log xx2 −5x+6
+4x+6
x
1−| x |

Solución 5.
a) El dominio es ] − ∞, −2[∪[2, +∞[.
b) El dominio es R \ [2, 3].
c) El dominio es ] − ∞, −1[∪[0, 1[.
d) El dominio es R \

π
4

+ kπ : k ∈Z

e) El dominio es [2kπ, (2k + 1)π].
f) El dominio es

π
2

+ 2kπ : k ∈ Z .

√
Ejercicio 6. Si f (x) = 1/x y g(x) = 1/ x, ¿cuáles son los dominios naturales de f , g, f + g,
f · g y de las composiciones f ◦ g y g ◦ f ?
Solución 6.
a) El dominio de f es R∗ .
b) El dominio de g es R+ .
c) El dominio de f + g es R+ .
d) El dominio de f ◦ g es R+ .
e) El dominio de g ◦ f es R+ .

–2–

Funcioneselementales

Ejercicio 7.

Estudia si son pares o impares las siguientes funciones:
d) f (x) = e x − e−x
e) f (x) = sen (| x |)
f) f (x) = cos(x3 )

a) f (x) = | x + 1 | − | x − 1 |
1+x
b) f (x) = log 1−x
c) f (x) = e x + e−x
Solución 7.
a) f (x) = | x + 1 | − | x − 1 | es impar.
b) f (x) = log

1+x
1−x

es impar.

c) f (x) = e x + e−x es par.
d) f (x) = e x − e−x es impar.
e) f (x) = sen(x2 ) espar.
f) f (x) = cos(x3 ) es par.
Ejercicio 8.

¿Para qué números reales es cierta la desigualdad e3x+8 (x + 7) > 0?

Solución 8.

La desigualdad es cierta si x > −7.

Ejercicio 9. Comprueba que la igualdad alog(b) = blog(a) es cierta para cualquier par de números
positivos a y b.
Solución 9.

Tomando logaritmos en la primera parte de la expresión:
log alog(b) = log(b) log(a)

y, haciendo lo mismo enla segunda parte:
log blog(a) = log(a) log(b).
Por tanto, por la inyectividad de la función logaritmo, tendríamos que ambas expresiones coinciden;
es decir:
log alog(b) = log blog(a)
Ejercicio 10.

=⇒ alog(b) = blog(a)

Resuelve la siguiente ecuación:
1
1
1
1
=
+
+
.
log x (a) logb (a) logc (a) logd (a)

Solución 10. Aplicando la definición de la función logaritmo con otra base distinta del...