Rectas y parábolas

Rectas, parábolas y circunferencias
Prof. Antonio J. Sabino Eje de coordenadas Definición: Un eje de coordenadas es una recta que tiene un punto O de origen y un punto U llamado punto de unidad

O U Se considera la dirección positiva del eje de coordenadas a la semirrecta que contiene el punto de unidad. La dirección contraria a O se considera negativa. Sistema de ejes coordenados Dos ejesperpendiculares (es decir, que forman un ángulo de 90°) con un origen en común O y un punto de unidad U por eje se denomina un sistema de ejes coordenados o también llamado plano cartesiano.
y u o
诲诲튫睿 瞁 瞁

u

x

El eje señalado con “x” se llama eje de las abscisas y el señalado con “y” se denomina eje de las ordenadas. Los ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes. ¿Cómo representar unpunto del plano en un sistema de ejes coordenados? Todos los puntos que pertenecen al plano se representan analíticamente en dos coordenadas, una coordenada se ubica en el eje “x” y otra en el eje “y”. Dado un punto P( x0 , y0 ) para ubicarlo en el plano cartesiano se marca el valor de la primera componente del punto P ( x0 ) sobre el eje de las abscisas y se marca el valor de la segunda componente (y0 ). Se trazan perpendiculares en los puntos señalados. La intersección de esas perpendiculares nos dará la localización del punto P. Ejemplo: Ubicar el punto P (3, 4) en el plano cartesiano. Paso 1: Ubicamos la coordenada “x” (en nuestro caso es 3)

o

3

x

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Paso 2: Ubicamos la coordenada “y” (en nuestro caso es 4)
4

o

3

xPaso 3: Trazamos perpendiculares en los puntos indicados. La intersección es la localización del punto P.
4

• P (3, 4)

o

3

x

Ejercicio: Ubicar los siguientes puntos en el plano cartesiano: P (1, 2) ; A( −3, 4) ; B (0, 3) ; 1   2 1  2 6 D (−2, −5) ; Q  , 3  ; C  − , −  ; F (2,1) ; M 1 ,  ; ( 2,1) 2   3 4  3 7

Distancia entre dos puntos Sean P( x1 , y1 ) y Q (x2 , y2 ) dos puntos del plano. La distancia entre los puntos P y Q (se denota d ( P, Q) ) es:

d ( P, Q ) = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2
•Q ( x2 , y2 )

x
P ( x1 , y1 ) •

La línea comprendida entre P y Q es el segmento PQ Ejemplo: Calcular la distancia entre los puntos P(−1, 2) y Q (−3,5)
d ( P, Q ) = (5 − 2) 2 + ( −3 − ( −1)) 2 = (3) 2 + ( −3 + 1) 2 = (3) 2 + ( −2) 2 = 9 + 4 = 13________________________ Prof. Antonio J. Sabino

Ejercicio: Dados los puntos: P (1, 2) ;

A( −3, 4) ;

B (0, 3) ;

D ( −2, −5) ;

1  Q  , 3 ; 2 

 2 1  2 6 C  − , −  ; F (2,1) ; M 1 ,  ;  3 4  3 7 DB, CF, AD, MN, FM, DQ, QC

( 2,1) , calcular las siguientes distancias: AB,

Punto medio de un segmento Sean P ( x1 , y1 ) y Q ( x2 , y2 ) dos puntos del plano y PQ elsegmento comprendido entre los puntos anteriores. El punto medio M del segmento PQ es aquel punto que divide a este en dos segmentos iguales (PM = QM) y sus coordenadas son:  x + x y + y2  M ( x, y ) =  1 2 , 1  2   2

•Q ( x2 , y2 ) • M ( x, y )
P ( x1 , y1 ) • x

Ejemplo: Calcular el punto medio del segmento PQ ( P ( −1, 2) y Q ( −3,5) ) 7  x + x y + y2   −1 + ( −3) 2 + 5   −4 7  PM ( x, y ) =  1 2 , 1 , =  =  ,  =  −2,  2   2 2   2 2  2  2 Ejercicio: Dados los puntos: P (1, 2) ; A( −3, 4) ; B (0, 3) ; D ( −2, −5) ;

1  Q  , 3 ; 2 

 2 1  2 6 ( 2,1) , calcular el punto medio de los C  − , −  ; F (2,1) ; M 1 ,  ;  3 4  3 7 segmentos: AB, DB, CF, AD, MN, FM, DQ, QC Funciones
Definición: En matemáticas, dados dos conjuntos X e Y,una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática denotada

Cada relación o correspondencia de un elemento denota y = f ( x)

con un (y sólo un)

se

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Ejemplo de funciones:

f : ℜ2 → ℜ • 1 f ( x) = + 2 f ( x, y ) = 2 xy x En este curso solo vamos a estudiar las funciones en una variable. • El dominio de f es el...