Rectas

,

RECTAS, PARABOLAS
Y SISTEMAS
4.1 RECTAS
OBJETIVO
Desarrollar la noci6n de pendiente y
las diferentes form as de ecuaciones de
rectas.
y

Pendiente de una recta
Muchas relaciones entre cantidades pueden ser representadas de manera adecuada
por rectas. Una caracterfstica de una recta es su "inclinaci6n". Por ejemplo, en la
figura 4.1 la recta Ll crece mas rapido que la recta L2cuando va de izquierda a
derecha. En este sentido Ll esta mas inclinada respecto a la horizontal.
Para medir la inclinaci6n de una recta usamos la noci6n de pendiente. En la
figura 4.2, conforme nos movemos a 10 largo de la recta L de (1, 3) a (3, 7), la cOOl'dey
L

--~--------------~x

7
(3, 7) II' }

6

f 0 la grafi
es una parabola que se abre hacia arriba. La coordenada x del verticees

b
2a

1
2'

2
2(2)

ylacoordenadayes 2(-t)2 +2(-t)+3=t. Asfel verticees (-t,t)·Comoc::3.,
la intercepci6n y es 3. Una parabola que abre hacia arriba con su vertice arriba dell
eje x, no tiene intercepciones x. En la figura 4.23 graficamos la intercepci6n y, eli
Y

Rango: Y~t

y
-2 7
1 7

~

Y= f(x) = 2X2 + 2x+ 3

FIGURA 4.23

----~--~r-~--------------x

-2GrMica de y =fix)

-.1.
2

= 2x2 + 2x + 3.

vertice y un punto adicional (-2, 7) ala izquierda del vertice. Por simetrfa, tambien
obtenemos el punto (I, 7). Trazando una parabola a traves de estos puntos se obtiene
la grafica deseada. A partir de la figura 4.23 vemos que el rango de J es toda y ;::
esto es, el intervalo [t, 00).
•

t.

EJEMPLO 5

Ingreso maximo

La Juncion dedemanda para un producto es p = 1000 - 2q, donde p es el precio (en
dolares) por unidad cuando q unidades son demandadas (por semana) por los con-

4.3

Funciones cuadroticas

145

sumidores. Encontrar el nivel de producci6n que maximizarti el ingreso total del
productor, y determinar ese ingreso.

Solucion:
-La f6rmula para el ingreso total debe

scr agregada a su repertorio de ,
.Estrategia: Para maximizar el ingreso debemos determinar la funci6n de ingreso, r =
f(q). Utilizando la relaci6n

relaciones en negoclOs y economla.

ingreso total

=(precio)(cantidad),

tenemos
r=pq.

Con la ecuaci6n de demand~ podemos expresar pen terminos de q, de modo
que r sea estrictamente una funci6n de q.
Tenemos
r = pq

= (1000 = 1000q -

r

2q)q.
2q2.

Observeque res una funci6n cuadnitica de q, con a = -2, b = 1000 Y c = O. Ya que
a < 0 (parabola que abre hacia abajo), res maximo en el vertice (q, r), donde

q

= -

b

2a

= -

1000
2( - 2)

= 250.

EI valor maximo de r esta dado por

r = 1000(250) - 2(250)2

= 250,000

- 125,000

=

125,000.

As!, el ingreso maximo que el fabricante puede recibir es de $125,000, y ocurreen
un nivel de producci6n de 250 unidades. La figura 4.24(a) muestra la grafica de la
funci6n de ingreso. S610 la parte para la que q ;:: 0 y r ;:: 0 se dibuja, ya que la cantidad
y el ingreso no pueden ser negativos.
•
150,000

t
r

r= 1000q- 2q2

125'O~
I

250

500

q

(a)

F IGURA 4.24

GrMica de la funci6n de ingreso.

(b)

146

4 RECTAS, PARABOLAS Y SISTEMASTECNOLOGIA

El valor maximo (0 minimo) de una funci o n puede ser encontrado c on una calculad'
grafica utilizando trazado y acercamiento, 0 bien c o n la o peracion de " maximo"
"minimo"). L a figura 4 .24(b) muestra la funcion de ingreso del ejemplo 5 , e sto es .
grafica de y = lOOOx - 2x2. Observe que reemplazamos r par y y q par x.
to

EJERCICIOS 4.3
En los problemas 1-8 establecersi lafuncion es cuadratica
o no.

2. g(x)

23. f(x)

2x' _ 4

3. g(x) = 7 - 6x.

4. h(s) = 2.1"(.1"

+

I).

5. h(q) = (q + 4)'.

6. f(f) = 2f(3 - t)

+

.\'2 -

7. f(s)

=

4

8. g(t) =

-2-'

(f2 -

4f .

I)'.

=

9. Para la parabola y fix) -4xl + 8x + 7, (a) eneontrar el
vertiee, (b) i.EI vertice eorresponde al punto mas bajo 0 al
mas alto de la...